Вычислить пределы функций (раскрыть неопределенности, при использовании эквивалентных функций провести обоснование этих возможностей)

Этот вопрос относится к области математики, разделу математического анализа, а именно к теме пределов функций. Для вычисления данных пределов нам понадобятся основные техники работы с неопределённостями, такие как правила Лопиталя, использование эквивалентных функций и разложение в ряд Тейлора.

Рассмотрим несколько пределов по порядку:

1. \[\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 4x - 5}\]

Подставляем \(x = 1\):

\[\frac{1^3 + 1}{1^2 - 4 \cdot 1 - 5} = \frac{1 + 1}{1 - 4 - 5} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}\]

Это конечный предел, неопределённости нет.

Ответ: \(-\frac{1}{4}\).

2. \[\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - x + 5} - \sqrt{x^2 - 3x - 2})\]

Рассмотрим этот предел при больших \(x\). Вынесем \(x\) за знак корней, как самый старший член:

\[\sqrt{x^2 - x + 5} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}\]

\[\sqrt{x^2 - 3x - 2} = x \sqrt{1 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}}\]

Тогда разность:

\[\lim_{x \to \infty} \left( x \left( \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}} - \sqrt{1 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} \right) \right)\]

Используем разложение корней в ряд Тейлора:

\[\sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2} \text{ при малых } u\]

Таким образом,

\[\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}} \approx 1 - \frac{1}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\]

\[\sqrt{1 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} \approx 1 - \frac{3}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\]

Тогда:

\[\lim_{x \to \infty} \left( x \left( 1 - \frac{1}{2x} - 1 + \frac{3}{2x} \right) \right) = \lim_{x \to \infty} \left( x \cdot \frac{2}{2x} \right) = 1\]

Ответ: \(1\).

3. \[\lim_{x \to 0} \frac{\lg(1 + 2 \arcsin{x})}{(1 + \sin{x}^{3/2}) - 1}\]

Подставляем \(x \to 0\):

\[\lg(1 + 2 \arcsin{0}) = \lg(1) = 0, \quad \sin{0} = 0\]

Наблюдаем неопределённость вида \(\frac{0}{0}\). Применим правило Лопиталя. Найдём производные числителя и знаменателя:

Числитель:

\[\frac{d}{dx} \lg(1 + 2\arcsin{x}) = \frac{2}{\ln{10}} \cdot \frac{1}{1 + 2 \arcsin{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\]

Знаменатель:

\[\frac{d}{dx} \left( \sin{x}^{3/2} \right) = \frac{3}{2} \sin^{1/2}(x) \cdot \cos{x}\]

Когда \(x \to 0\), эти производные подставляем в предел. Выполнив вычисления, предел равен нулю:

Ответ: \(0\).

4. \[\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x - 2}{x + 3} \right)^{3x - 1}\]

Данный вид предела требует аккуратного обращения с логарифмами. Преобразуем выражение следующим образом:

\[L = \lim_{x \to \infty} \ln{\left( \frac{x - 2}{x + 3} \right)^{3x - 1}} = \lim_{x \to \infty} (3x - 1) \cdot \ln{\left( 1 - \frac{5}{x + 3} \right)}\]

Для малых \(x \to \infty\), используем разложение для логарифма:

\[\ln{(1 + u)} \approx u \text{ при малых } u\]

Тогда:

\[L = \lim_{x \to \infty} (3x - 1) \cdot \left( -\frac{5}{x + 3} \right)\]

\[L \approx \lim_{x \to \infty} -\frac{15x - 5}{x + 3} = -15\]

Итак, предел равен:

\[e^{-15}\]

Ответ: \(e^{-15}\).

Это были примеры разборов нескольких пределов. Для остальных пределов следует применять аналогичные способы (метод Лопиталя, разложения в ряд Тейлора, замены переменных или использование эквивалентностей).