Вычислить пределы функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Пределы функций

Найдем предел следующего выражения:

 \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\left(\sin x + \sin 3x\right)^2} 

Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель с использованием приближений тригонометрических функций при малых x

При x \to 0, можно использовать разложения в ряд Тейлора:

• \cos 2x \approx 1 - \frac{(2x)^2}{2!} = 1 - 2x^2
• \sin x \approx x
• \sin 3x \approx 3x

Подставим в предел:

 \frac{1 - (1 - 2x^2)}{(x + 3x)^2} = \frac{2x^2}{(4x)^2} 

Шаг 2: Упростим выражение

 \frac{2x^2}{16x^2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} 

Ответ:

 \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\left(\sin x + \sin 3x\right)^2} = \frac{1}{8}  ✅