Вычислить предел выражения

Данное задание относится к предмету математика, а именно к разделу математический анализ (или функции и их пределы). Нам нужно вычислить предел выражения:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^2+4}-5x^2}{\sqrt{x^4-x+1}}. \]

Шаг 1: Анализ поведения этой функции при \(x \to \infty\)

Чтобы решить задачу, нужно разобраться, как ведут себя отдельные части выражения при \(x \to \infty\). Рассмотрим сначала числитель и знаменатель отдельно.

Числитель: \(\sqrt[3]{x^2 + 4} - 5x^2\)

1. При больших значениях \(x\), можно считать, что \(x^2\) намного больше чем \(4\), поэтому \(\sqrt[3]{x^2 + 4}\) можно аппроксимировать как \(\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}\).
2. Значит, на бесконечности \(\sqrt[3]{x^2 + 4} \approx x^{2/3}\). Теперь перепишем числитель с этой аппроксимацией:

\[ \sqrt[3]{x^2 + 4} - 5x^2 \approx x^{2/3} - 5x^2. \]

Заметим, что при \(x \to \infty\), слагаемое \(5x^2\) растёт гораздо быстрее, чем \(x^{2/3}\), что указывает на то, что числитель будет стремиться к \( -5x^2 \).

Знаменатель: \(\sqrt{x^4 - x + 1}\)

При больших значениях \(x\), основным слагаемым в выражении \(x^4 - x + 1\) становится \(x^4\), т.к. оно растет быстрее всех остальных. Это означает, что \(\sqrt{x^4 - x + 1} \approx \sqrt{x^4} = x^2\).

Шаг 2: Перепишем предел с аппроксимациями

На основании сделанных выводов, можем аппроксимировать выражение следующим образом:

\[ \frac{\sqrt[3]{x^2+4}-5x^2}{\sqrt{x^4 - x + 1}} \approx \frac{x^{2/3} - 5x^2}{x^2}. \]

Шаг 3: Упрощение выражения

Разделим числитель на \(x^2\):

\[ \frac{x^{2/3} - 5x^2}{x^2} = \frac{x^{2/3}}{x^2} - \frac{5x^2}{x^2} = x^{-4/3} - 5. \]

Шаг 4: Найдем предел

Теперь, вычисляем предел каждого из слагаемых при \(x \to \infty\):

\[ \lim_{x \to \infty} x^{-4/3} = 0, \]

поскольку степень \(-4/3\) отрицательная, и, таким образом, \(x^{-4/3}\) стремится к нулю при \(x \to \infty\).

Остается:

\[ \lim_{x \to \infty} \left( x^{-4/3} - 5 \right) = 0 - 5 = -5. \]

Ответ:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^2+4}-5x^2}{\sqrt{x^4-x+1}} = -5. \]