Вычислить предел с помощью разложения на множетели

Это задание относится к предмету математический анализ (раздел: пределы функций). Нам необходимо вычислить следующий предел с помощью разложения на множители: \[ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1}}{x^2 - 9}. \]

1. Найдём значение в точке \(x = 3\):

Подставим \(x = 3\) в выражение:

1. числитель: \[ \sqrt{3+13} - 2\sqrt{3+1} = \sqrt{16} - 2\sqrt{4} = 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0, \]
2. знаменатель: \[ 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0. \]

Поскольку числитель и знаменатель равны нулю, получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \), поэтому нужно продолжить вычисления.

2. Применяем приём устранения неопределенности.

Попробуем упростить числитель. Для этого воспользуемся приёмом умножения на сопряжённую дробь:

\[ \sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1} = \left(\sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1}\right) \cdot \frac{\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1}}. \]

Тогда числитель примет вид:

\[ \left(\sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1}\right) \cdot \left(\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1}\right) = (\sqrt{x+13})^2 - (2\sqrt{x+1})^2. \]

Теперь раскрываем квадраты на обеих сторонах:

\[ (x+13) - 4(x+1) = x + 13 - 4x - 4 = -3x + 9. \]

Значит, числитель упрощается до \( -3(x - 3) \).

3. Разложим знаменатель.

Знаменатель \(x^2 - 9\) представляет собой разность квадратов:

\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). \]

4. Подготовим сокращение.

Теперь можем записать упрощённое выражение для предела:

\[ \lim_{x \to 3} \frac{-3(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}. \]

Сократим на \( (x - 3) \) (учитывая, что при \(x \neq 3\) это допустимо):

\[ \lim_{x \to 3} \frac{-3}{x + 3}. \]

5. Подставим \(x = 3\) в оставшееся выражение:

\[ \frac{-3}{3 + 3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}. \]

Ответ:

Предел равен:

\[ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1}}{x^2 - 9} = -\frac{1}{2}. \]