Вычислить предел последовательности

Условие:

Вычислить предел последовательности натуральных чисел:

Решение:

Для решения данного предела вида \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{an+b}{cn+d}\right)^{n+k} \), можно воспользоваться следующей стратегией. В первую очередь, обратим внимание, что если \( \frac{a}{c} > 1 \), предел будет стремиться к бесконечности, а если \( \frac{a}{c} < 1 \), то предел будет стремиться к нулю. В случае когда \( \frac{a}{c} = 1 \), можно применить первый замечательный предел. Мы имеем предел вида \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3n+1}{3n-2}\right)^{n+1} \). Находим отношение коэффициентов при старших степенях n в числителе и знаменателе: \( \frac{3}{3} = 1 \). Это даёт нам понимание, что мы должны нормировать выражение таким образом, чтобы можно было применить первый замечательный предел. Сделаем это: \[ \lim_{n \to \infty}\left(\frac{3n+1}{3n-2}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3n-2}\right)^{n+1} \] Теперь умножим и разделим внутри скобки дробь \( \frac{3}{3n-2} \) на 3: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n-\frac{2}{3}}\right)^{n+1} \] При \( n \to \infty \) дробь \( \frac{2}{3n} \) стремится к нулю, и выражение в скобках стремится к выражению первого замечательного предела \( (1+\frac{1}{n})^n \), которое стремится к “е” при \( n \to \infty \). Однако, степень, в которую возводится выражение, также влияет на итоговый результат. В данном случае у нас \( n+1 \) вместо n, что будет приводить к дополнительному множителю "е" как результату предела поскольку выражение "(1+1/n)^n" стремится к "е" и дополнительная степень "+1" добавляет ещё один множитель "е", так что итоговый предел будет равен "е" умноженному на "е", то есть "е^2". Итак, окончательный результат предела равен \( e^2 \).