Вычислить предел по правилу Лопиталя при х стремящемуся к бесконечности

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Правило Лопиталя, пределы)

Рассмотрим предел:

 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 5x}{2e^x} 

1. Проверка условия применения правила Лопиталя

Правило Лопиталя можно применять, если предел принимает неопределенность вида \frac{\infty}{\infty} или \frac{0}{0}.

• Числитель: 4x^2 - 5x стремится к \infty при x \to \infty.
• Знаменатель: 2e^x также стремится к \infty при x \to \infty.

Так как имеем неопределенность \frac{\infty}{\infty}, можем применить правило Лопиталя, взяв производные числителя и знаменателя.

2. Вычисление производных

• Производная числителя:
  \frac{d}{dx} (4x^2 - 5x) = 8x - 5
• Производная знаменателя:
  \frac{d}{dx} (2e^x) = 2e^x

Теперь вычисляем предел:

 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{8x - 5}{2e^x} 

3. Повторное применение правила Лопиталя

Снова имеем неопределенность \frac{\infty}{\infty}, поэтому применяем правило Лопиталя еще раз:

• Производная числителя:
  \frac{d}{dx} (8x - 5) = 8
• Производная знаменателя:
  \frac{d}{dx} (2e^x) = 2e^x

Теперь вычисляем предел:

 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{8}{2e^x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{8}{2e^x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{4}{e^x} 

Так как e^x стремится к бесконечности, дробь \frac{4}{e^x} стремится к нулю.

4. Ответ

 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 5x}{2e^x} = 0