Вычислить предел lim ((n-2)!+(n-1)!)/((n-1)!-(n-2)!) при n стремящемся к бесконечности

Предмет: Математика

Раздел математики: Математический анализ (Определение пределов)

Теперь рассмотрим данное задание: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n-2)! + (n-1)!}{(n-1)! - (n-2)!} \]

Для упрощения давай сначала выразим факториалы через более простые множители. Заметим, что: \[ (n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)! \]

Поэтому у нас: \[ (n-2)! + (n-1)! = (n-2)! + (n-1) \cdot (n-2)! = (n-2)!(1 + (n-1)) = (n-2)! \cdot n \]

Теперь знаменатель: \[ (n-1)! - (n-2)! = (n-1) \cdot (n-2)! - (n-2)! = (n-2)!((n-1) - 1) = (n-2)! \cdot (n-2) \]

Теперь наше выражение принимает вид: \[ \frac{(n-2)! \cdot n}{(n-2)! \cdot (n-2)} \]

Сокращаем на \((n-2)!\): \[ \frac{n}{n-2} \]

Теперь найдем предел этого выражения при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-2} \]

Для упрощения разделим числитель и знаменатель на \(n\): \[ \frac{n/n}{(n-2)/n} = \frac{1}{1 - 2/n} \]

При \( n \to \infty \), \( 2/n \to 0 \), таким образом: \[ \frac{1}{1 - 0} = 1 \]

Итак, предел равен 1: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n-2)! + (n-1)!}{(n-1)! - (n-2)!} = 1 \]

Вот и всё! Мы успешно вычислили предел и получили результат \(1\). Если у тебя есть ещё какие-либо вопросы или задания, дай мне знать!