Вычислить предел используя замечательные lim

Данное задание относится к предмету математики, разделу "Математический анализ", а именно — нахождению пределов последовательностей и функций. Наша цель — вычислить предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(x)e^{nx} + x^4e^{-2nx}}{e^{nx} + e^{-2nx}}. \]

Решение:

Шаг 1. Анализ поведения экспонент

\( e^{nx} \) растёт экспоненциально при \( n \to \infty \), а \( e^{-2nx} = \frac{1}{e^{2nx}} \) убывает экспоненциально до 0. Следовательно:

• \( e^{nx} \gg e^{-2nx} \) при больших \( n \).

Шаг 2. Деление числителя и знаменателя на ведущий член \( e^{nx} \)

Чтобы проще изучить асимптотику, разделим числитель и знаменатель дроби на \( e^{nx} \):

\[ \frac{\sin(x)e^{nx} + x^4e^{-2nx}}{e^{nx} + e^{-2nx}} = \frac{\frac{\sin(x)e^{nx}}{e^{nx}} + \frac{x^4e^{-2nx}}{e^{nx}}}{\frac{e^{nx}}{e^{nx}} + \frac{e^{-2nx}}{e^{nx}}}. \]

Упростим каждую часть:

• Для числителя: \[ \frac{\sin(x)e^{nx}}{e^{nx}} = \sin(x), \quad \frac{x^4e^{-2nx}}{e^{nx}} = x^4 \cdot e^{-3nx}. \] При \( n \to \infty \) добавок \( x^4 \cdot e^{-3nx} \to 0 \), так как \( e^{-3nx} \to 0 \) быстрее, чем \( x^4 \). Таким образом, числитель стремится к: \[ \sin(x). \]
• Для знаменателя: \[ \frac{e^{nx}}{e^{nx}} = 1, \quad \frac{e^{-2nx}}{e^{nx}} = e^{-3nx}. \] Здесь \( e^{-3nx} \to 0 \), поэтому знаменатель стремится к: \[ 1. \]

Шаг 3. Итоговый предел

Теперь наша дробь принимает вид:

\[ \frac{\sin(x) + 0}{1 + 0} = \sin(x). \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \boxed{\sin(x)}. \]

Пояснение

При вычислении пределов с экспонентами важно учитывать доминирующий порядок роста (или убывания) членов. Здесь ведущим членом была \( e^{nx} \), что позволило упростить структуру дроби.