Вычислить предел используя правило Лопиталя

Предмет: Математический анализ

Раздел: Вычисление пределов, правило Лопиталя

Дан предел:
 \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{\sin 3x} - e^{\sin x}}{\arctg 2x} 

Шаг 1. Проверка неопределенности

При подстановке x = 0:

• Числитель:
  e^{\sin 3(0)} - e^{\sin 0} = e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0
• Знаменатель:
  \arctg(2 \cdot 0) = \arctg 0 = 0

Получаем неопределенность вида \frac{0}{0}, поэтому можно применить правило Лопиталя.

Шаг 2. Дифференцирование числителя и знаменателя

Дифференцируем числитель:
 \frac{d}{dx} \left( e^{\sin 3x} - e^{\sin x} \right) = e^{\sin 3x} \cdot \cos 3x \cdot 3 - e^{\sin x} \cdot \cos x 

Дифференцируем знаменатель:
 \frac{d}{dx} \arctg 2x = \frac{2}{1 + 4x^2} 

Шаг 3. Подстановка предела

Подставляем x = 0:

• Числитель:
  e^{\sin 0} \cdot \cos 0 \cdot 3 - e^{\sin 0} \cdot \cos 0 = e^0 \cdot 1 \cdot 3 - e^0 \cdot 1 = 3 - 1 = 2
• Знаменатель:
  \frac{2}{1 + 4 \cdot 0^2} = \frac{2}{1} = 2

Шаг 4. Вычисление предела

 \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{\sin 3x} - e^{\sin x}}{\arctg 2x} = \frac{2}{2} = 1 

Ответ: 1