Вычислить предел, используя бесконечно малые

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (пределы и бесконечно малые)

Нужно вычислить предел:

\lim_{x \to 0} \frac{\arctg(6x)}{2x^2 - 3x}

Решение:

1. Проверим вид дроби при (x \to 0):
   Числитель: (\arctg(6x) \to \arctg(0) = 0).
   Знаменатель: (2x^2 - 3x \to 0).
   Таким образом, мы имеем неопределённость вида (\frac{0}{0}), и можем применить правило Лопиталя.

2. Применим правило Лопиталя:
   Для этого найдём производные числителя и знаменателя.

   Производная числителя:
   [ \frac{d}{dx} \arctg(6x) = \frac{6}{1 + (6x)^2}. ]

   Производная знаменателя:
   [ \frac{d}{dx} (2x^2 - 3x) = 4x - 3. ]

   Подставим производные в предел: [ \lim{x \to 0} \frac{\arctg(6x)}{2x^2 - 3x} = \lim{x \to 0} \frac{\frac{6}{1 + (6x)^2}}{4x - 3}. ]

3. Упростим выражение и найдём предел:
   При (x \to 0):
   [ \frac{6}{1 + (6x)^2} \to 6, \quad 4x - 3 \to -3. ]

   Следовательно, предел равен: [ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{1 + (6x)^2}}{4x - 3} = \frac{6}{-3} = -2. ]

Ответ:

\lim_{x \to 0} \frac{\arctg(6x)}{2x^2 - 3x} = -2