Вычислить предел функции, в которой присутствуют радикалы и дроби

Предмет: Математика. Раздел: Математический анализ (пределы функций).

В данном задании требуется вычислить предел функции, в которой присутствуют радикалы и дроби. Однако, поскольку в задаче упоминается Excel, я поясню, как можно использовать этот инструмент для приближённого вычисления предела функции.

Функция, предел которой нужно найти:
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3}}{\sqrt[3]{19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84}^3}.

1. Теоретическое решение

Перед тем как приступить к вычислению в Excel, разберёмся с теоретическим подходом к нахождению предела.

Шаг 1: Упростим числитель.

Числитель функции:
5x^2 + \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3}.

При x \to \infty, доминирующим членом в корне будет \sqrt{64x^4}, так как остальные члены (например, 8x^2 и 3) становятся незначительными. Поэтому:
\sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3} \approx \sqrt{64x^4} = 8x^2.

Теперь числитель приближённо равен:
5x^2 + 8x^2 = 13x^2.

Шаг 2: Упростим знаменатель.

Знаменатель функции:
\sqrt[3]{(19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84)^3}.

При x \to \infty, доминирующим членом в скобках будет 19x^2. Поэтому:
19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84 \approx 19x^2.

Тогда:
\sqrt[3]{(19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84)^3} \approx \sqrt[3]{(19x^2)^3} = 19x^2.

Шаг 3: Упростим всю дробь.

Теперь функция приближённо равна:
\frac{13x^2}{19x^2} = \frac{13}{19}.

Следовательно:
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3}}{\sqrt[3]{19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84}^3} = \frac{13}{19}.

2. Приближённое вычисление в Excel

Если вы хотите проверить результат в Excel, можно сделать следующее:

Шаг 1: Введите формулу функции.

В Excel создайте столбец для значений x и столбец для значений функции. Например:

• В ячейке A1 напишите: "x".
• В ячейке A2 введите начальное значение, например, 1000.
• В ячейке A3 введите формулу =A2*10, чтобы увеличивать x.

Шаг 2: Введите формулу для функции.

В ячейке B1 напишите: "f(x)".
В ячейке B2 введите формулу для функции. Например:

=(5*A2^2 + SQRT(64*A2^4 + 8*A2^2 + 3)) / (19*A2^2 + 7*A2 + 12*SQRT(3) - 84)^(1/3)^3

Шаг 3: Наблюдайте за значениями.

Скопируйте ячейки A3 и B2 вниз, чтобы увидеть, как функция приближается к значению \frac{13}{19} при увеличении x.

Итог

Предел функции равен:
\frac{13}{19} \approx 0.6842.

Используя Excel, вы можете вычислить приближённое значение предела для больших значений x.