Вычислить предел функции при х стремящемуся к нулю решить по правилу лопиталя

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Пределы, правило Лопиталя)

Рассмотрим предел функции:

 \lim\limits_{x \to 0} \frac{3 - 3\cos x}{4x^2} 

Шаг 1: Проверка неопределенности

Подставим x = 0 в числитель и знаменатель:

• Числитель: 3 - 3\cos 0 = 3 - 3 \cdot 1 = 0
• Знаменатель: 4(0)^2 = 0

Получаем неопределенность вида \frac{0}{0}, следовательно, можем применить правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя гласит, что если существует предел

 \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} 

и он принимает неопределенность \frac{0}{0} или \frac{\infty}{\infty}, то можно вычислить его как:

 \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 

Найдем производные числителя и знаменателя.

Шаг 3: Вычисление производных

Числитель:
 f(x) = 3 - 3\cos x 

Производная числителя:  f'(x) = 3\sin x 

Знаменатель:  g(x) = 4x^2 

Производная знаменателя:  g'(x) = 8x 

Шаг 4: Вычисление нового предела

Теперь вычислим предел:

 \lim\limits_{x \to 0} \frac{3\sin x}{8x} 

Так как известно, что \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, то:

 \lim\limits_{x \to 0} \frac{3\sin x}{8x} = \frac{3}{8} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{3}{8} \cdot 1 = \frac{3}{8} 

Ответ:

 \frac{3}{8}