Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Вычислить предел функции, используя первый и второй замечательные пределы и их следствия
Условие:
Решить
Решение:
Это задание по математике, а именно по разделу математического анализа, посвященное вычислению пределов. Мы воспользуемся первыми и вторыми замечательными пределами для решения. Рассмотрим каждое задание поочередно.
1. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin x + \sin 4x} \) Используем приближения \(\tan x \approx x\), \(\sin x \approx x\) при \(x \to 0\): \[\tan 3x \approx 3x, \sin x \approx x, \sin 4x \approx 4x\] Тогда: \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x}{x + 4x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}\] 2. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x}{3x^2} \) Используем приближение \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}\): \[\cos 8x \approx 1 - \frac{(8x)^2}{2} = 1 - 32x^2\] Тогда: \[1 - \cos 8x \approx 32x^2\] \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{32x^2}{3x^2} = \frac{32}{3}\] 3. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{\sin (x - 2)}{x^2 - 4} \) Переходим к пределу: \[t = x - 2 \Rightarrow x = t + 2 \Rightarrow x \to 2 \Rightarrow t \to 0\] Тогда: \[\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{(t + 2)^2 - 4} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{t^2 + 4t} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{t(t+4)}\] Используем \(\sin t \approx t\): \[\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{t(t+4)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t+4} = \frac{1}{4}\] 4. \(\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}\right)^{x^2}\) Разделим числитель и знаменатель: \[\left(\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}\right)^{x^2} = \left(\frac{1 + \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}\right)^{x^2}\] Для малых \(x\) в числителе и знаменателе \(1 \pm \frac{4}{x^2} \approx 0\). Однако, рассмотрим выражение \(\left(1 + \frac{8}{x^2}\right)^{x^2}\) при \(x \to 0\): \[\lim\limits_{x \to 0} f(x) = e^{\lim\limits_{x \to 0} x^2 \ln(1 + \frac{8}{x^2})}\] Переходим к логарифму: \[W = \frac{\ln(1 + 8/x^2)}{1/x^2} \approx \lim\limits_{t \to \infty} \frac{\ln t}{t} = 0\] Значит предел равен: \[e^c = e^0 = 1\] 5. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (a + x) - \ln a}{x} \) Используем определение производной: \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (a + x) - \ln a}{x} = \frac{d}{dx}[\ln (a + x)] \bigg|_{x=0} = \frac{1}{a + x} \bigg|_{x=0} = \frac{1}{a}\] 6. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{\sin 5x} - e^{\sin x}}{\ln (1 + 2x)} \) Используем разложение \(\sin x \approx x\) и натуральный логарифм \(\ln(1 + 2x) \approx 2x\): \[e^{\sin 5x} \approx e^{5x},\quad e^{\sin x} \approx e^x\] \[\frac{e^{5x} - e^x}{\ln (1 + 2x)} \approx \frac{e^{5x} - e^x}{2x}\] Используем приближение экспоненты \(e^z \approx 1 + z\) при малых \(z\): \[\frac{e^{5x} - e^x}{2x} \approx \frac{(1 + 5x - 1) - (1 + x - 1)}{2x} = \frac{5x - x}{2x} = \frac{4x}{2x} = 2\] Таким образом, предел равен 2.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку