Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
У нас дан предел: \[ \lim_{x \to 4} (5 - x)^\frac{x + 3}{4 - x} \]
Подставим \( x = 4 \) напрямую:
\[ (5 - 4)^{\frac{4 + 3}{4 - 4}} = 1^{\frac{7}{0}} \]
Мы получаем выражение, которое имеет неопределенность \( 1^\infty \). Это типичная неопределённая форма, и для её разрешения воспользуемся замечательными пределами.
Замечательные пределы:
\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \]
Или:
\[ \lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x)} \quad \text{при форме неопределенности \( 1^\infty\)} \]
Для устранения неопределенности типа \( 1^\infty \), воспользуемся логарифмированием. Пусть:
\[ y = (5 - x)^{\frac{x + 3}{4 - x}} \]
Возьмём натуральный логарифм от обеих частей:
\[ \ln y = \frac{x + 3}{4 - x} \ln(5 - x) \]
Теперь необходимо найти предел от выражения:
\[ \lim_{x \to 4} \frac{(x + 3) \ln(5 - x)}{4 - x} \]
Здесь мы встречаем неопределенность типа \( \frac{0}{0} \), поэтому можно применить правило Лопиталя.
Правило Лопиталя заключается в дифференцировании числителя и знаменателя по переменной \( x \) и нахождении предела.
Дифференцируем числитель и знаменатель:
Числитель: \( (x + 3) \ln(5 - x) \) → \[ \frac{d}{dx} (x + 3) \ln(5 - x) \]
Прежде всего, это производная произведения:
\[ \frac{d}{dx} \left( (x + 3) \ln(5 - x) \right) = \ln(5 - x) + (x + 3) \cdot \frac{-1}{5 - x} \]
Знаменатель: \[ \frac{d}{dx} (4 - x) = -1 \]
Теперь предел примет вид:
\[ \lim_{x \to 4} -\left( \ln(5 - x) + \frac{(x + 3)}{5 - x} \right) \]
\[ \lim_{x \to 4} -\left( \ln(5 - 4) + \frac{4 + 3}{5 - 4} \right) = -\left( \ln 1 + 7 \right) = -7 \]
Вернёмся к исходному уравнению:
\[ \ln y = -7 \quad \Rightarrow \quad y = e^{-7} \]
Следовательно, предел равен:
\[ \lim_{x \to 4} (5 - x)^{\frac{x + 3}{4 - x}} = e^{-7} \]
Ответ: \( e^{-7} \).