Вычислить предел без лопиталя и тейлора

Предмет: Математика Раздел: Мат. анализ (Предел функций, асимптотические методы)

Мы имеем следующий предел: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} \right)^{x^2 + 1}. \]

Шаг 1: Исследование отношения дроби внутри степени

Рассмотрим выражение внутри предела: \[ \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1}. \] Поскольку \(x \to \infty\), доминируют старшие члены в числителе и знаменателе, то есть \(x^2\). Поэтому для очень больших \(x\): \[ \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} \approx \frac{x^2}{x^2} = 1. \] Более точно: \[ \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} = \frac{x^2(1 + \frac{5}{x^2})}{x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = \frac{1 + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}. \] Для \(x \to \infty\), обе дроби стремятся к 1, поэтому: \[ \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} \to 1. \] Следовательно, выражение внутри степени стремится к 1.

Шаг 2: Обработка выражения через экспоненту

Мы имеем дело с пределом вида \(1^\infty\), который без преобразования не имеет определённого значения. Поэтому применим логарифмические методы. Запишем предел с использованием экспоненты: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} \right)^{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \exp\left((x^2 + 1) \ln \left( \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} \right) \right). \] Теперь нам нужно изучить поведение логарифма: \[ \ln \left( \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} \right) = \ln \left( 1 + \frac{6}{x^2 - 1} \right). \] При \(x \to \infty\) аргумент логарифма стремится к 1, и используя приближённое равенство \(\ln(1 + z) \approx z\) при малых \(z\), получаем: \[ \ln \left( 1 + \frac{6}{x^2 - 1} \right) \approx \frac{6}{x^2}. \]

Шаг 3: Упрощение предела

Теперь можем подставить это приближение в экспоненту: \[ \exp \left( (x^2 + 1) \cdot \frac{6}{x^2} \right) = \exp \left( 6 + \frac{6}{x^2} \right). \] При \(x \to \infty\), значение \(\frac{6}{x^2} \to 0\), поэтому предельное значение экспоненты равно: \[ \exp(6). \]

Ответ:

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} \right)^{x^2 + 1} = e^6. \]