Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математике, а конкретнее к разделу математический анализ и теме интегралы и площадь под кривой.

Задача

Нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

• \( y = 3 + \sin(x) \)
• \( y = 0 \)
• \( x = -\frac{\pi}{2} \)
• \( x = 0 \)

Решение шага за шагом

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена графиком какой-либо функции, осью \(x\) (то есть линией \(y = 0\)) и вертикальными прямыми \(x = a\) и \(x = b\), используется определённый интеграл от функции по оси \(x\):

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Функция в нашем случае — это \( f(x) = 3 + \sin(x) \), а пределы интегрирования: \( x = -\frac{\pi}{2} \) и \( x = 0 \).

Шаг 1: Задать определённый интеграл

Мы интегрируем функцию от \( x = -\frac{\pi}{2} \) до \( x = 0 \):

\[ S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (3 + \sin(x)) \, dx \]

Шаг 2: Разделим интеграл на две части

Интеграл можно разделить на сумму двух интегралов:

\[ S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} 3 \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin(x) \, dx \]

Шаг 3: Вычисление каждого интеграла

1. Первый интеграл легко вычисляется, так как функция постоянная (равна 3):

\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} 3 \, dx = 3 \cdot \left( 0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \]

2. Второй интеграл — это табличный интеграл:

\[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin(x) \, dx = \left[ -\cos(x) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = -( \cos(0) - \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)) \]

\[ = -( 1 - 0) = -1 \]

Шаг 4: Сложим результаты

Теперь складываем оба результата:

\[ S = \frac{3\pi}{2} + (-1) = \frac{3\pi}{2} - 1 \]

Итак, площадь фигуры:

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна:

\[ S = \frac{3\pi}{2} - 1 \]