Вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми и сделать график

Предмет: Математика

Раздел предмета: Интегральное исчисление

Задание: Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми \(y=(x-4)^2\), \(y=x^2\) и \(y=1\).

1. Построение чертежа и нахождение точек пересечения кривых:
Рассмотрим уравнения кривых: \(y_1 = x^2\) \(y_2 = (x-4)^2\) \(y_3 = 1\)
Найдём точки пересечения:
- Пересечение \(y_1\) и \(y_3\): \(x^2 = 1\) \(x = \pm 1\)
Точки пересечения: \((1,1)\) и \((-1,1)\).
- Пересечение \(y_2\) и \(y_3\): \((x-4)^2 = 1\) \(x-4 = \pm 1\) \(x = 5\) или \(x = 3\)
Точки пересечения: \((5,1)\) и \((3,1)\).
Для нахождения площади надо определить, где функции пересекаются друг с другом:
- Пересечение \(y_1\) и \(y_2\): \(x^2 = (x-4)^2\) \(x^2 = x^2 - 8x + 16\) \(0 = -8x + 16\) \(8x = 16\) \(x = 2\)
Значение \(y\) для \(x = 2\): \(y = 2^2 = 4\)
Точка пересечения: \((2, 4)\). 2. Построение графика:
Построим графики функций: \(y = x^2\), \(y = (x-4)^2\) и горизонтальную линию \(y = 1\).
 3. Вычисление площади:
Теперь нужно вычислить площадь фигуры, заключенной между этими кривыми на интервалах от 1 до 3 и от 1 до 5.
Площадь между линиями \(y=x^2\) и \(y=1\) для \(x\) от -1 до 1:
\[ \text{{Площадь}}_1 = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx \] \[ = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \] \[ = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 + \frac{(-1)^3}{3}\right) \] \[ = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \left(-\frac{1}{3}\right)\right) \] \[ = \left(\frac{2}{3}\right) - \left(\left(\frac{3}{3} + \frac{1}{3}\right)\right) \] \[ = 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \] \[ = \frac{8}{3} \]
Следовательно, площадь между функциями \(y=x^2\) и \(y = 1\):
\[ \text{{Площадь}}_2 = \int_{3}^{5} ((x-4)^2 - 1)\,dx \] \[ = \left[ \frac{(x-4)^3}{3} - x \right]_{3}^{5} \] \[ = \left[\frac{(5-4)^3}{3} - 5\right] - \left[\frac{(3-4)^3}{3} - 3 \right] \] \[ = \left[\frac{1}{3} - 5\right] - \left[\frac{-1^3}{3} - 3\right] \] \[ = \left(- \frac{14}{3}\right) - \left(\left(-\frac{1}{3}-3\right)\right) \] \[ = \left(- \frac{16}/}{3}\right) \]
тоесть общая площадь будет рассчитана с единого уравнения.