Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Это задание по математике, конкретно из раздела аналитической геометрии и интегрального исчисления, где требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми. Чтобы найти площадь фигуры, нужно определить точки пересечения двух кривых и интегрировать разность функций в пределах этих точек. Заданы две кривые: 1. \( y = 3x^2 + 3x - 9 \) 2. \( y = -15x - 33 \)

Шаг 1: Найдем точки пересечения двух кривых

Для этого приравняем два выражения: \[ 3x^2 + 3x - 9 = -15x - 33 \]

Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду

Переносим все на одну сторону: \[ 3x^2 + 18x + 24 = 0 \]

Шаг 3: Разделим на 3 для упрощения:

\[ x^2 + 6x + 8 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 36 - 32 = 4 \]
Корни квадратного уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2 \]
\[ x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4 \]
Точки пересечения: \( x = -2 \) и \( x = -4 \).

Шаг 5: Найдем пределы интегрирования и подставим

Пределы интегрирования от \( -4 \) до \( -2 \).

Шаг 6: Составим выражение для интегрирования

Вычислим разность функций: \[ (-15x - 33) - (3x^2 + 3x - 9) = -3x^2 - 18x - 24 \]

Шаг 7: Интегрирование

Интеграл разности функций: \[ \int_{-4}^{-2} (-3x^2 - 18x - 24) \, dx \]
Интегралы: \[ -56 + 108 - 48 = 4 \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = 3x^2 + 3x - 9 \) и \( y = -15x - 33 \), равна 4 квадратных единицы.