Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Условие:

Решение:

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, сначала нужно найти точки пересечения кривых. Для этого приравняем правые части уравнений: \( y^2 + x = 4 \) и \( y^2 - 3x = 12 \). Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 4 - y^2 \) и подставим во второе уравнение: \( y^2 - 3(4 - y^2) = 12 \). Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \( y^2 - 12 + 3y^2 = 12 \) \( 4y^2 = 24 \) \( y^2 = 6 \) Отсюда имеем два значения для \( y \): \( y = \sqrt{6} \) или \( y = -\sqrt{6} \). Подставим найденные значения \( y \) в уравнение \( x = 4 - y^2 \), чтобы найти соответствующие значения \( x \): 1) \( x = 4 - 6 = -2 \) при \( y = \sqrt{6} \), 2) \( x = 4 - 6 = -2 \) при \( y = -\sqrt{6} \). Теперь мы имеем две точки пересечения: \( (-2, \sqrt{6}) \) и \( (-2, -\sqrt{6}) \). Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, воспользуемся интегралом. Площадь будет равна разности интегралов от функций выражающих \( x \) через \( y \): \( S = \int_{-2}^{4 - y^2} dx - \int_{-2}^{y^2 - 4} dx \) Будем интегрировать по \( y \) от \( -\sqrt{6} \) до \( \sqrt{6} \), так как в этих пределах изменяется \( y \) между точками пересечения: \( S = \int_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}} ((4 - y^2) - (y^2 - 4)) dy \) \( S = \int_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}} (8 - 2y^2) dy \) Теперь найдем этот интеграл: \( S = [8y - \frac{2}{3}y^3]_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}} \) \( S = (8\sqrt{6} - \frac{2}{3}(\sqrt{6})^3) - (-8\sqrt{6} + \frac{2}{3}(-\sqrt{6})^3) \) \( S = (8\sqrt{6} - \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{6}) - (-8\sqrt{6} + \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{6}) \) \( S = (8\sqrt{6} - 4\sqrt{6}) - (-8\sqrt{6} + 4\sqrt{6}) \) \( S = 4\sqrt{6} + 4\sqrt{6} \) \( S = 8\sqrt{6} \) Итак, площадь ограниченной фигуры равна \( 8\sqrt{6} \) квадратных единиц.