Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, определённые интегралы, площадь под кривой

Задание:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

• y = \sqrt{x}
• y = 1
• x = 4

Шаг 1: Построение графика

Построим графики функций:

1. y = \sqrt{x} — это верхняя ветвь параболы, проходящая через начало координат и идущая вверх вправо.
2. y = 1 — горизонтальная прямая.
3. x = 4 — вертикальная прямая.

Найдем точку пересечения y = \sqrt{x} и y = 1:

 \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 

Таким образом, область, ограниченная графиками, лежит между x = 1 и x = 4.

Шаг 2: Определение границ интегрирования

Область, ограниченная сверху линией y = 1, снизу кривой y = \sqrt{x}, и по бокам вертикальными прямыми x = 1 и x = 4.

Шаг 3: Формула для вычисления площади

Площадь между двумя кривыми y = f(x) и y = g(x), где f(x) \ge g(x) на отрезке [a, b], вычисляется по формуле:

 S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx 

В нашем случае:

• Верхняя функция: f(x) = 1
• Нижняя функция: g(x) = \sqrt{x}
• Пределы интегрирования: от x = 1 до x = 4

Подставим:

 S = \int_{1}^{4} \left(1 - \sqrt{x}\right) \, dx 

Шаг 4: Вычисление интеграла

Вычислим интеграл:

 \int_{1}^{4} \left(1 - \sqrt{x}\right) dx = \int_{1}^{4} 1 \, dx - \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx 

Вычислим по отдельности:

1. \int_{1}^{4} 1 \, dx = [x]_{1}^{4} = 4 - 1 = 3
2. \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4^{3/2} - 1^{3/2})

Вычислим 4^{3/2} = (4^1) \cdot (\sqrt{4}) = 4 \cdot 2 = 8, а 1^{3/2} = 1

Значит:

 \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{14}{3} 

Теперь находим площадь:

 S = 3 - \frac{14}{3} = \frac{9}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{5}{3} 

Площадь не может быть отрицательной, поэтому берём модуль:

 S = \left| -\frac{5}{3} \right| = \frac{5}{3} 

Ответ:

\boxed{S = \frac{5}{3}}

Чертеж (описание):

1. Нарисуйте оси координат.
2. Постройте график y = \sqrt{x} от x = 0 до x = 4.
3. Проведите горизонтальную прямую y = 1.
4. Отметьте вертикальные линии x = 1 и x = 4.
5. Заштрихуйте область между y = 1 и y = \sqrt{x} от x = 1 до x = 4 — это и есть искомая площадь.