Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2, y=1/x^2, x=3,y=0,x>=0

Определим предмет и раздел предмета

Этот вопрос относится к предмету математика, а конкретно к разделу интегральное исчисление.

Пошаговый процесс решения

1. Найдем точки пересечения заданных линий:\[ y = x^2 \quad \text{и} \quad y = \frac{1}{x^2} \] Приравниваем \(x^2\) и \(\frac{1}{x^2}\):\[ x^2 = \frac{1}{x^2} \implies x^4 = 1 \implies x = \pm 1 \] Так как \(x \geq 0\), берём \(x = 1\).
2. Определим область интегрирования: Интервал для \(x\) будет от 1 до 3 (учитывая условие \(x \geq 0\)) и от 0 до 1. Для этой задачи мы будем рассматривать область интегрирования на двух участках: \(0 \leq x \leq 1\) и \(1 \leq x \leq 3\).
3. Разделим фигуру на две части и запишем интегралы:
   • Для \(0 \leq x \leq 1\), верхней функцией является \(y = \frac{1}{x^2}\), а нижней функцией \(y = x^2\).
   • Для \(1 \leq x \leq 3\), верхней функцией является \(y = \frac{1}{x^2}\) и нижней \(y = 0\).
4. Вычислим площадь каждого участка. Для \(0 \leq x \leq 1\): Площадь у нас будет вычисляться как разность интегралов:\[ \text{Площадь 1} = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x^2} - x^2\right) dx \] Для \(1 \leq x \leq 3\): Площадь у нас будет вычисляться как интеграл одной функции, так как нижняя граница \(y = 0\):\[ \text{Площадь 2} = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} dx \]
5. Вычислим каждое из интегралов:\[ \text{Площадь 1} = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x^2} - x^2\right) dx \] Разделим на два интеграла:\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx - \int_{0}^{1} x^2 dx \] Интегрируем каждый из них:\[ \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x} \]\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] Теперь подставим пределы интегрирования:\[ \text{Площадь 1} = \left[-\frac{1}{x}\right]_{0}^{1} - \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} \] Минус ( -\frac{1}{x} ) дает:\[ \left[ -1 - (-\infty) \right] - \left[\frac{1}{3} - 0\right] \] Первый интеграл не определен в 0 (бесконечность), чтобы быть точным: Заменим интеграл ([ a > 0 ]) и добавим предел:\[(\lim_{a \to 0^+})\]\[ = -1 - (0) - \left(\frac{1}{3}-0\right)= -1 -\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3} \]
6. Следующий интеграл:\[ \text{Площадь 2} = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} dx \] Интегрируем как выше:\[ \int \frac{1}{x^2} dx = -x^{-1}= -\frac{1}{x} \]\[ =-\left[ \frac{1}{x}\right]_{1}^{3} =-\left(\frac{1}{3}-1)\right)=-(-\frac{2}{3})=+\frac{2/3} \]
7. Сложим площади:\[ \text{Общая площадь} = 1-\frac{1}{3}+(+\frac{2}{3})=\frac{5}{3} \] Ответ: \( \frac{5}{3} \) единиц площади.