Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Давайте решим предложенные задачи по очереди.

1. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена линиями $\text{(}{y}^2=2(x-1)\text{)}$ и $\text{(}x=3\text{)}$.

1. Преобразуем уравнение $\text{(}{y}^2=2(x-1)\text{)}$: $\text{[}{y}^2=2x-2\text{]}$ $\text{[}x=\frac{y^2+2}{2}\text{]}$ Ограничение $\text{(}x=3\text{)}$, подставив в уравнение, получаем: $\text{[}3=\frac{y^2+2}{2}\text{]}$ $\text{[}6=y^2+2\text{]}$ $\text{[}{y}^2=4\text{]}$ $\text{[}y=\pm 2\text{]}$
2. Тогда область интегрирования: $\text{(}y\in [-2,2]\text{)}$ Площадь можно найти с помощью двойного интеграла: $\text{[}\text{Area}={\int }_{-2}^2{\int }_1^{3}dxdy={\int }_{-2}^2(3-1)dy=2{\int }_{-2}^{2}dy=2\cdot 4=8\text{]}$

2. Вычисление интеграла

Вычислим интеграл $\text{(}{\int }_L((x^2+2xy)dx-(3x^2-y+1)dy)\text{)}$, где $\text{(}L\text{)}:\text{(}y=2-x^2\text{)}$ от точки $\text{(}(-1,1)\text{)}$ до точки $\text{(}(1,1)\text{)}$.

Разделим интеграл: $\text{[}{\int }_L(x^2+2xy)dx-{\int }_L(3x^2-y+1)dy\text{]}$ Параметризуем $\text{(}L:y=2-x^2\text{)}$: $\text{[}dy=-2xdx\text{]}$

1. $\text{(}{\int }_{-1}^1(x^2+2x(2-x^2))dx\text{)}$: $\text{[}{\int }_{-1}^1(x^2+4x-2x^3)dx={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx+{\int }_{-1}^{1}4xdx-{\int }_{-1}^{1}2x^{3}dx\text{]}$
2. $\text{(}{\int }_{-1}^1(3x^2-(2-x^2)+1)(-2x)dx\text{)}$: $\text{[}{\int }_{-1}^1(3x^2-2+x^2+1)(-2x)dx={\int }_{-1}^1(4x^2-1)(-2x)dx\text{]}$ Вычислим каждый из интегралов отдельно:
   1. $\text{(}{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2x^3}{3}{|}_{-1}^1=\frac{2}{3}-\frac{(-1{)}^3}{3}=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\text{)}$
   2. $\text{(}{\int }_{-1}^{1}4xdx=4\cdot \frac{x^2}{2}{|}_{-1}^1=4\cdot \frac{1}{2}-4\cdot \frac{1}{2}=0\text{)}$
   3. $\text{(}{\int }_{-1}^{1}2x^{3}dx=\frac{2x^4}{4}{|}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\text{)}$
   Теперь вычислим второй интеграл: $\text{[}{\int }_{-1}^1(4x^2-1)(-2x)dx=-{\int }_{-1}^{1}8x^{3}dx+{\int }_{-1}^{1}2xdx\text{]}$
   1. $\text{(}{\int }_{-1}^{1}8x^{3}dx=2\cdot \frac{8x^4}{4}{|}_{-1}^1=2\cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0)\text{)}$
   2. $\text{(}{\int }_{-1}^{1}2xdx=2\cdot \frac{1}{4}{|}_{-1}^1=\cdot (\frac{1}{2}-\frac{2}{2}=0)\text{)}$

Таким образом, результат вычислений интегралов равен 0.

Объединяя полученные результаты по шагам выше получаем: Площадь равна 8, результат дополнительного задания равен 0.