Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Условие:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у^2 =2(x-1), х=3.

Условие: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у^2 =2(x-1), х=3.

Решение:

Давайте решим предложенные задачи по очереди.

1. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена линиями \(y2=2(x1)\) и \(x=3\).

  1. Преобразуем уравнение \(y2=2(x1)\): \[y2=2x2\] \[x=y2+22\] Ограничение \(x=3\), подставив в уравнение, получаем: \[3=y2+22\] \[6=y2+2\] \[y2=4\] \[y=±2\]
  2. Тогда область интегрирования: \(y[2,2]\) Площадь можно найти с помощью двойного интеграла: \[Area=2213dxdy=22(31)dy=222dy=24=8\]
2. Вычисление интеграла

Вычислим интеграл \(L((x2+2xy)dx(3x2y+1)dy)\), где \(L\):\(y=2x2\) от точки \((1,1)\) до точки \((1,1)\).

Разделим интеграл: \[L(x2+2xy)dxL(3x2y+1)dy\] Параметризуем \(L:y=2x2\): \[dy=2xdx\]

  1. \(11(x2+2x(2x2))dx\): \[11(x2+4x2x3)dx=11x2dx+114xdx112x3dx\]
  2. \(11(3x2(2x2)+1)(2x)dx\): \[11(3x22+x2+1)(2x)dx=11(4x21)(2x)dx\] Вычислим каждый из интегралов отдельно:
    1. \(11x2dx=2x33|11=23(1)33=23+23=43\)
    2. \(114xdx=4x22|11=412412=0\)
    3. \(112x3dx=2x44|11=1212=0\)
    Теперь вычислим второй интеграл: \[11(4x21)(2x)dx=118x3dx+112xdx\]
    1. \(118x3dx=28x44|11=2(1212=0)\)
    2. \(112xdx=214|11=(1222=0)\)

Таким образом, результат вычислений интегралов равен 0.

Объединяя полученные результаты по шагам выше получаем: Площадь равна 8, результат дополнительного задания равен 0.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут