Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Давайте решим предложенные задачи по очереди.

1. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена линиями \(y^2 = 2(x - 1)\) и \(x = 3\).

1. Преобразуем уравнение \(y^2 = 2(x - 1)\): \[ y^2 = 2x - 2 \] \[ x = \frac{y^2 + 2}{2} \] Ограничение \( x = 3 \), подставив в уравнение, получаем: \[ 3 = \frac{y^2 + 2}{2} \] \[ 6 = y^2 + 2 \] \[ y^2 = 4 \] \[ y = \pm 2 \]
2. Тогда область интегрирования: \( y \in [-2, 2] \) Площадь можно найти с помощью двойного интеграла: \[ \text{Area} = \int_{-2}^{2} \int_{1}^{3} dx \, dy = \int_{-2}^{2} (3 - 1) \, dy = 2 \int_{-2}^{2} dy = 2 \cdot 4 = 8 \]

2. Вычисление интеграла

Вычислим интеграл \(\int_{L} \left( (x^2 + 2xy) \, dx - (3x^2 - y + 1) \, dy \right)\), где \(L\): \( y = 2 - x^2 \) от точки \((-1, 1)\) до точки \((1, 1)\).

Разделим интеграл: \[ \int_{L} (x^2 + 2xy) \, dx - \int_{L} (3x^2 - y + 1) \, dy \] Параметризуем \( L: y = 2 - x^2 \): \[ dy = -2x \, dx \]

1. \(\int_{-1}^{1} (x^2 + 2x(2 - x^2)) \, dx\): \[ \int_{-1}^{1} (x^2 + 4x - 2x^3) \, dx = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx + \int_{-1}^{1} 4x \, dx - \int_{-1}^{1} 2x^3 \, dx \]
2. \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - (2 - x^2) + 1)(-2x) \, dx\): \[ \int_{-1}^{1} (3x^2 - 2 + x^2 + 1)(-2x) \, dx = \int_{-1}^{1} (4x^2 - 1)(-2x) \, dx \] Вычислим каждый из интегралов отдельно:
   1. \(\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} \bigg|_{-1}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\)
   2. \(\int_{-1}^{1} 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} \bigg|_{-1}^{1} = 4 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} = 0\)
   3. \(\int_{-1}^{1} 2x^3 \, dx = \frac{2x^4}{4} \bigg|_{-1}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\)
   Теперь вычислим второй интеграл: \[\int_{-1}^{1} (4x^2 - 1)(-2x) \, dx = - \int_{-1}^{1} 8x^3 \, dx + \int_{-1}^{1} 2x \, dx\]
   1. \(\int_{-1}^{1} 8x^3 \, dx = 2 \cdot \frac{8x^4}{4} \bigg|_{-1}^{1} = 2 \cdot ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0)\)
   2. \(\int_{-1}^{1} 2x \, dx = 2 \cdot \frac{1}{4} \bigg|_{-1}^{1} = \cdot ( \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = 0)\)

Таким образом, результат вычислений интегралов равен 0.

Объединяя полученные результаты по шагам выше получаем: Площадь равна 8, результат дополнительного задания равен 0.