Вычислить площадь фигуры, ограниченной линии

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и интегральное исчисление

Для вычисления площади фигуры, ограниченной параметрическими кривыми, используется формула площади через определённый интеграл:

 S = \int_{t_1}^{t_2} x'(t) y(t) \, dt 

где:

• x(t) и y(t) — координаты точки на кривой в параметрической форме,
• x'(t) — производная x(t) по t,
• [t_1, t_2] — интервал изменения параметра t.

Даны:  x(t) = 2\cos t, \quad y(t) = 6\sin t, \quad t \in [0, \frac{\pi}{2}]. 

Шаг 1. Найдём производную x'(t):

 x'(t) = \frac{d}{dt}(2\cos t) = -2\sin t. 

Шаг 2. Подставим в формулу площади:

 S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |x'(t)| y(t) \, dt. 

Так как x'(t) = -2\sin t, то |x'(t)| = 2\sin t. Тогда:  S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin t)(6\sin t) \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 12\sin^2 t \, dt. 

Шаг 3. Упростим интеграл:

Используем тригонометрическое тождество:  \sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2}. 

Тогда:  S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 12 \cdot \frac{1 - \cos(2t)}{2} \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6(1 - \cos(2t)) \, dt. 

Разделим интеграл:  S = 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt - 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2t) \, dt. 

Шаг 4. Вычислим каждый интеграл:

1. Для первого интеграла:  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt = t \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}. 

2. Для второго интеграла:  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2t) \, dt = \frac{\sin(2t)}{2} \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}. 

Вычислим:  \frac{\sin(2t)}{2} \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin(\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0. 

Шаг 5. Подставим значения:

 S = 6 \cdot \frac{\pi}{2} - 6 \cdot 0 = 3\pi. 

Ответ:

Площадь фигуры равна:  S = 3\pi.