Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать схематический чертеж

Предмет: Математика, раздел: Интегральное исчисление

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми, используем интегральное исчисление.

Дано:

1. \( y = 2^x \)
2. \( x = 0 \) (вертикальная линия)
3. \( y = 2 \) (горизонтальная линия)

Шаг 1: Найдём точки пересечения

1. Найдём точку пересечения \( y = 2 \) и \( y = 2^x \): \[ 2 = 2^x \Rightarrow x = 1 \] Таким образом, фигура ограничена линиями \( x = 0 \), \( x = 1 \) и \( y = 2 \).

Шаг 2: Определим границы интегрирования

Под графиком функции \( y = 2^x \) от \( x = 0 \) до \( x = 1 \).

Шаг 3: Выражение для площади

Площадь под графиком задаётся интегралом: \[ A = \int_{0}^{1} 2^x \, dx \]

Шаг 4: Вычислим интеграл

Используем формулу интегрирования экспоненциальной функции: \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln(2)} \] Подставляем границы интегрирования: \[ A = \left[ \frac{2^x}{\ln(2)} \right]_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln(2)} - \frac{2^0}{\ln(2)} = \frac{2}{\ln(2)} - \frac{1}{\ln(2)} = \frac{1}{\ln(2)} \]

Ответ:

Площадь фигуры составляет \(\frac{1}{\ln(2)}\).

Схематический чертёж

1. Нарисуем оси координат \( x \) и \( y \).
2. Изобразим экспоненциальную функцию \( y = 2^x \).
3. Проведём вертикальную линию \( x = 0 \).
4. Проведём горизонтальную линию \( y = 2 \).
5. Проведём вертикальную линию \( x = 1 \).

Площадь фигуры — это область, заключённая между этими кривыми и линиями.

На рисунке это область почти треугольной формы:
y ↑
2 ●-----------------------------------
  |  \  
  |   \ 
  |    \ 
  |    \ 1
  |     ● (1, 2)
  | 
  |
  |    / 
  |   / 
  |  /  
  | /  
0 ● ----------|-----------|--> x
           (0, 1)        0   1

Область под кривой от \( x = 0 \) до \( x = 1 \) ограниченная \( y = 2 \) и \( x = 0, 1 \).