Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график y=(x-4)^2 , кривые y=x^2, y=1

Этот вопрос относится к предмету "Математика", а конкретно к разделу "Интегральное исчисление" и подкатегории "Вычисление площадей фигур, ограниченных кривыми".

Для решения задачи нам нужно найти площадь фигуры, которая находится в пересечении и ограничена кривыми \( y = (x-4)^2 \), \( y = x^2 \) и \( y = 1 \).

Шаг 1: Определить точки пересечения кривых

1. Пересечение \( y = (x-4)^2 \) и \( y = x^2 \):

   \[(x-4)^2 = x^2\]

   Решим это уравнение:

   \[(x-4)^2 - x^2 = 0\]

   \[x^2 - 8x + 16 - x^2 = 0\]

   \[-8x + 16 = 0\]

   \[x = 2\]

2. Пересечение \( y = (x-4)^2 \) и \( y = 1 \):

   \[(x-4)^2 = 1\]

   Решим это уравнение:

   \[x-4 = \pm 1\]

   \[x = 5 \quad \text{или} \quad x = 3\]

3. Пересечение \( y = x^2 \) и \( y = 1 \):

   \[x^2 = 1\]

   \[x = \pm 1\]

Шаг 2: Построить график для понимания областей

Графики \( y = (x-4)^2 \), \( y = x^2 \), \( y = 1 \):

• \( y = x^2 \) - парабола, открытая вверх, вершина в точке (0,0)
• \( y = (x-4)^2 \) - парабола, открытая вверх, вершина в точке (4,0)
• \( y = 1 \) - горизонтальная прямая линия

Шаг 3: Вычислить площадь интегрированием по частям

Теперь мы интегрируем функции по таким интервалам:

• От \( x = -1 \) до \( x = 1 \) для \( y = x^2 \) и \( y = 1 \)
• От \( x = 3 \) до \( x = 5 \) для \( y = (x-4)^2 \) и \( y = 1 \)

1. Площадь между \( x = -1 \) и \( x = 1 \):

   \[ A_1 = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \]

   Вычислим значения:

   \[ A_1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{-1}{3} \right) \]

   \[ A_1 = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{-2}{3} \right) = \frac{4}{3} \]

2. Площадь между \( x = 3 \) и \( x = 5 \):

   \[ A_2 = \int_{3}^{5} (1 - (x-4)^2) \, dx = \int_{3}^{5} \left( 1 - (x^2 - 8x + 16) \right) dx \]

   \[ A_2 = \int_{3}^{5} \left( -x^2 + 8x - 15 \right) dx \]

   Интегрируем:

   \[ A_2 = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x^2 - 15x \right]_{3}^{5} \]

   Вычислим значения:

   \[ A_2 = \left( -\frac{5^3}{3} + 4 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 \right) - \left( -\frac{3^3}{3} + 4 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 \right) \]

   \[ A_2 = \left( -\frac{125}{3} + 100 - 75 \right) - \left( -9 + 36 - 45 \right) \]

   \[ A_2 = \left( -\frac{125}{3} + 25 \right) - \left( -18 \right) \]

   \[ A_2 = \left( \frac{-125 + 75}{3} \right) + 18 \]

   \[ A_2 = \left( \frac{-50}{3} \right) + 18 = \left( -\frac{50}{3} + \frac{54/3} \) = \frac{4}{3} \]

Итог

Общая площадь фигуры: \[ A_{total} = A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = (x-4)^2 \), \( y = x^2 \) и \( y = 1 \) равна \(\frac{8}{3}\).