Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график y=(x-4)^2 , кривые y=x^2, y=1

Давайте определим предмет и раздел предмета полученного задания.

Предмет: Математика Раздел: Интегральное исчисление и Планиметрия (геометрия на плоскости)

Теперь решим задание, объясняя каждый шаг максимально подробно.

Шаг 1: Построение графиков кривых

Начнем с построения графиков данных функций:

1. \( y = (x-4)^2 \)
2. \( y = x^2 \)
3. \( y = 1 \)

График 1: \( y = (x-4)^2 \)

Это парабола с вершиной в точке \( (4, 0) \), направленная вверх.

График 2: \( y = x^2 \)

Это парабола с вершиной в точке \( (0, 0) \), направленная вверх.

График 3: \( y = 1 \)

Это прямая линия, параллельная оси \( x \), проходящая через точку \( y = 1 \).

Шаг 2: Нахождение точек пересечения

Определим точки пересечения заданных кривых.

Пересечения \( y = (x-4)^2 \) и \( y = x^2 \):

Приравняем уравнения:

\((x-4)^2 = x^2 \)

Решим уравнение:

\( x^2 - 8x + 16 = x^2 \)
\( -8x + 16 = 0 \)
\( 8x = 16 \)
\( x = 2 \)

Таким образом, \( x = 2 \). Проверим \( y \)-координаты:

\( y = (2-4)^2 = 4 \)
\( y = 2^2 = 4 \)

Пересечение происходит в точке \( (2, 4) \).

Пересечения \( y = x^2 \) и \( y = 1 \):

Приравняем уравнения:

\( x^2 = 1 \)

Решим уравнение:

\( x = \pm 1 \)

Точки пересечения: \( (1, 1) \) и \( (-1, 1) \).

Пересечения \( y = (x-4)^2 \) и \( y = 1 \):

Приравняем уравнения:

\( (x-4)^2 = 1 \)

Решим уравнение:

\( x - 4 = \pm 1 \)
\( x = 5 \text{ (или) } x = 3 \)

Точки пересечения: \( (5, 1) \) и \( (3, 1) \).

Шаг 3: Вычисление площадей

Теперь рассмотрим определенные области:

• Между \( y = x^2 \) и \( y = 1 \) от \( x = -1 \) до \( x = 1 \)
• Между \( y = (x-4)^2 \) и \( y = 1 \) от \( x = 3 \) до \( x = 5 \)

Область 1: Между \( y = x^2 \) и \( y = 1 \) от \( x = -1 \) до \( x = 1 \)

\( A_1 = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \)

Разделим интеграл:

\( A_1 = \int_{-1}^{1} 1 \, dx - \int_{-1}^{1} x^2 \, dx \)

Вычисляем первую часть:

\( \int_{-1}^{1} 1 \, dx = x \Big|_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 \)

Вычисляем вторую часть:

\( \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2/3} \)

Теперь находим раз .Transactions Invoices