Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $\text{(}y=x^2+1\text{)}$ и $\text{(}y+x=3\text{)}$, сначала необходимо найти точки пересечения этих кривых.

1. Найдём точки пересечения:

Решим систему уравнений:

Приравняем правые части уравнений:

Перенесём все члены на одну сторону уравнения:

Решим это квадратное уравнение:

Можно разложить на множители:

Отсюда $\text{(}x=-2\text{)}$ и $\text{(}x=1\text{)}$.

Найдём соответствующие значения $\text{(}y\text{)}$:

1. Для $\text{(}x=-2\text{)}$: $\text{[}y=(-2{)}^2+1=4+1=5\text{]}$
2. Для $\text{(}x=1\text{)}$: $\text{[}y=1^2+1=1+1=2\text{]}$

Точки пересечения: $\text{(}(-2,5)\text{)}$ и $\text{(}(1,2)\text{)}$.

2. Построим графики уравнений:

• $\text{(}y=x^2+1\text{)}$ — парабола, вершина которой находится в точке $\text{(}(0,1)\text{)}$.
• $\text{(}y+x=3\text{)}$ или $\text{(}y=3-x\text{)}$ — прямая с наклоном -1, пересекающая ось $\text{(}y\text{)}$ в точке $\text{(}(0,3)\text{)}$.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между ними, используем интегрирование:

3. Определим функции и пределы интегрирования:

Для вычисления площади между кривыми:

В нашем случае, $\text{(}y=3-x\text{)}$ является верхней функцией, а $\text{(}y=x^2+1\text{)}$ нижней функцией.

Упростим подынтегральное выражение:

4. Вычислим интеграл:

Посчитаем каждый из этих интегралов:

Теперь суммируем результаты:

Итак, площадь области, ограниченной кривыми $\text{(}y=x^2+1\text{)}$ и $\text{(}y+x=3\text{)}$, равна $\text{(}\frac{9}{/}2\text{)}$ или 4.5 квадратных единиц.

5. График кривых:

Для построения графика воспользуемся полученными функциями и точками пересечения:

• $\text{(}y=x^2+1\text{)}$
• $\text{(}y=3-x\text{)}$


Таким образом, мы нашли площадь фигуры и построили график кривых.