Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график
Условие:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график
Решение:
Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2 + 1\) и \(y + x = 3\), сначала необходимо найти точки пересечения этих кривых.
1. Найдём точки пересечения:
Решим систему уравнений:
\[ y = x^2 + 1 \] \[ y = 3 - x \]Приравняем правые части уравнений:
\[ x^2 + 1 = 3 - x \]Перенесём все члены на одну сторону уравнения:
\[ x^2 + x + 1 - 3 = 0 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \]Решим это квадратное уравнение:
\[ x^2 + x - 2 = 0 \]Можно разложить на множители:
\[ (x + 2)(x - 1) = 0 \]Отсюда \( x = -2 \) и \( x = 1 \).
Найдём соответствующие значения \( y \):
- Для \( x = -2 \): \[ y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \]
- Для \( x = 1 \): \[ y = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \]
Точки пересечения: \((-2, 5)\) и \((1, 2)\).
2. Построим графики уравнений:
- \( y = x^2 + 1 \) — парабола, вершина которой находится в точке \((0, 1)\).
- \( y + x = 3 \) или \( y = 3 - x \) — прямая с наклоном -1, пересекающая ось \(y\) в точке \((0, 3)\).
Теперь, чтобы найти площадь фигуры между ними, используем интегрирование:
3. Определим функции и пределы интегрирования:
Для вычисления площади между кривыми:
\[ A = \int_{-2}^{1} ( верхняя\ функция\ -\ нижняя\ функция) \, dx \]В нашем случае, \(y = 3 - x\) является верхней функцией, а \(y = x^2 + 1\) нижней функцией.
\[ A = \int_{-2}^{1} [(3 - x) - (x^2 + 1)] \, dx \]Упростим подынтегральное выражение:
\[ A = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx \]4. Вычислим интеграл:
\[ A = \int_{-2}^{1} 2 \, dx - \int_{-2}^{1} x \, dx - \int_{-2}^{1} x^2 \, dx \]Посчитаем каждый из этих интегралов:
\[ \int_{-2}^{1} 2 \, dx = 2x \bigg |_{-2}^{1} = 2(1) - 2(-2) = 2 + 4 = 6 \] \[ \int_{-2}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg |_{-2}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}/{2} - \frac{4}/{2} = \frac{1}/{2} - 2 = -\frac{3}/{2} \] \[ \int_{-2}^{1} x^2 \, dx = \frac{x^3}/{3} \bigg |_{-2}^{1} = \frac{1^3}/{3} - \frac{(-2)^3}/{3} = \frac{1}/{3} + \frac{8}/{3} = 3 \]Теперь суммируем результаты:
\[ A = 6 - \left( -\frac{3}/{2} \right) - 3 \] \[ A = 6 + \frac{3}/{2} - 3 \] \[ A = 3 + \frac{3}/{2} \] \[ A = \frac{6}/{2} + \frac{3}/{2} \] \[ A = \frac{9}/{2} \] \[ A = 4.5 \]Итак, площадь области, ограниченной кривыми \(y = x^2 + 1\) и \( y + x = 3 \), равна \( \frac{9}/{2} \) или 4.5 квадратных единиц.
5. График кривых:
Для построения графика воспользуемся полученными функциями и точками пересечения:
- \( y = x^2 + 1 \)
- \( y = 3 - x \)
Таким образом, мы нашли площадь фигуры и построили график кривых.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку