Вычислить определённый интеграл

Предмет задания - математический анализ, раздел - вычисление определённых интегралов.

Задано следующий интеграл: \( \int_{1}^{14} \frac{\sqrt{11} \, dx}{2x\sqrt{11} + 5x} \) Начнем с упрощения подынтегрального выражения. Вынесем постоянный множитель \(\sqrt{11}\) за знак интеграла: \( \sqrt{11} \int_{1}^{14} \frac{dx}{2x\sqrt{11} + 5x} \) Обозначим \( 2x \sqrt{11} + 5x \) как \(u\). Тогда сделаем замену переменной: \( u = x(2\sqrt{11} + 5) \) \( du = (2\sqrt{11} + 5) dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2\sqrt{11} + 5} \) Поэтому наш интеграл становится: \( \sqrt{11} \int_{1}^{14} \frac{\frac{du}{2\sqrt{11} + 5}}{u} \)

Вынесем константу \( \frac{1}{2\sqrt{11} + 5} \): \( \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{11} + 5} \int_{1}^{14} \frac{du}{u} \) Этот интеграл имеет стандартное решение. Интеграл от \( \frac{1}{u} \) по \( u \) равен \( \ln|u| \). Запишем результат: \( \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{11} + 5} \left[ \ln|u| \right]_{1}^{14} \)

Теперь заменим \( u \) обратно: \( u = x(2\sqrt{11} + 5) \) Интеграл становится: \( \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{11} + 5} \left( \ln|14(2\sqrt{11} + 5)| - \ln|1(2\sqrt{11} + 5)| \right) \) \( = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{11} + 5} \left( \ln|14(2\sqrt{11} + 5)| - \ln|2\sqrt{11} + 5| \right) \) \( = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{11} + 5} \ln \left| \frac{14(2\sqrt{11} + 5)}{2\sqrt{11} + 5} \right| \) \( = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{11} + 5} \ln|14| \) Таким образом, результат определенного интеграла: \( \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{11} + 5} \ln(14) \)