Вычислить определитель 5-го порядка

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Линейная алгебра".

Давайте вычислим определитель матрицы 5-го порядка. Дана матрица: \[ D = \begin{vmatrix} 0 & 4 & 1 & 6 & 9 \\ 1 & 4 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 2 & 8 & 7 \\ 0 & 4 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 6 & 5 \\ \end{vmatrix} \]

Шаг 1: Заметим, что в первом столбце первого элемента нет, это облегчит нам вычисления при разложении по первой строке.

Разложим определитель по элементам первой строки (в данном случае легче всего из-за нулевого элемента): \[ D = 0 \cdot D_{11} - 4 \cdot D_{12} + 1 \cdot D_{13} - 6 \cdot D_{14} + 9 \cdot D_{15} \]

Где \( D_{ij} \) - это миноры матрицы, образованные удалением i-той строки и j-того столбца от исходной матрицы.

Посчитаем только ненулевые элементы равенства: Шаг 2: Вычислим миноры \( D_{12}, D_{13}, D_{14} \) и \( D_{15} \):

Для \( D_{12} \): \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 8 & 7 \\ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 6 & 5 \end{vmatrix}

Заметим, что в первой строке снова есть нули, это облегчит вычисления. Попытаемся опять разложить по первой строке: \( D_{12} = -4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 8 & 7 \\ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 6 & 5 \end{vmatrix} \) Минор остаётся равным нулю, так как в первой строке три элемента нулевые.

Для \( D_{13} \):

\[ \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 8 & 7 \\ 0 & 4 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 6 & 5 \end{vmatrix} \]

Здесь разложим по первой столбце из-за нулевых элементов. Определитель снова равен нулю.

Для \( D_{14} \):

\[ \begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 2 & 7 \\ 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 5 \end{vmatrix} \] Этот определитель тоже равен нулю:

Для \( D_{15} \):

\[ \begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 4 & 6 \end{vmatrix} \] Этот определитель тоже равен нулю.

Таким образом, все миноры оказались нулевые.

Ответ: Определитель данной матрицы равен 0.