Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 разложив подинтегральную функцию в ряд Маклорена

Определите предмет и раздел:

Этот вопрос относится к курсу "Математика", конкретно к разделу "Математический анализ", а точнее к теме "Интегралы и ряды Маклорена".

Задание:

Вычислить определённый интеграл \(\int_0^2 \frac{\sqrt{x+5}}{x} \, dx\) с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена.

Решение:

Подынтегральная функция: \(\frac{\sqrt{x+5}}{x}\).

Для начала представим \(\sqrt{x+5}\) с помощью ряда Маклорена.

Рассмотрим функцию \(f(x) = \sqrt{x+5}\).

Изначально находим разложение Маклорена для \(\sqrt{1 + u}\):

\[(1 + u)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + O(u^4)\]

Для \(x + 5\) можно представить как \(5 \cdot (1 + \frac{x}{5})\):

\[\sqrt{x + 5} = \sqrt{5 \cdot (1 + \frac{x}{5})} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{1 + \frac{x}{5}}\]

Применим разложение:

\[\sqrt{x + 5} = \sqrt{5} \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{5} - \frac{1}{8} \left(\frac{x}{5}\right)^2 + \frac{1}{16} \left(\frac{x}{5}\right)^3 + O\left(\left(\frac{x}{5}\right)^4\right)\right)\]

\[= \sqrt{5} \left(1 + \frac{x}{10} - \frac{x^2}{200} + \frac{x^3}{2000} + O(x^4)\right)\]

Теперь разделим по \(x\):

\[\frac{\sqrt{x+5}}{x} = \frac{\sqrt{5}}{x} \left(1 + \frac{x}{10} - \frac{x^2}{200} + \frac{x^3}{2000} + O(x^4)\right)\]

\[= \frac{\sqrt{5}}{x} + \frac{\sqrt{5}}{10} - \frac{\sqrt{5}}{200} x + \frac{\sqrt{5}}{2000} x^2 + O(x^3)\]

Далее будем интегрировать:

\[\int_0^2 \frac{\sqrt{5}}{x} + \frac{\sqrt{5}}{10} - \frac{\sqrt{5}}{200} x + \frac{\sqrt{5}}{2000} x^2 \, dx\]

По разым деталям:

\[\int_0^2 \frac{\sqrt{5}}{x} \, dx + \int_0^2 \frac{\sqrt{5}}{10} \, dx - \int_0^2 \frac{\sqrt{5}}{200} x \, dx + \int_0^2 \frac{\sqrt{5}}{2000} x^2 \, dx\]

Первые интегралы:

\[\int_0_2\frac{\sqrt{5}}{x} \, dx = \sqrt{5} \left.\left[\ln x \right]\right|_0^2 \to \text{ Но } \left(интеграл \text{евую} \) двусмыслен \) представление (выходить \(\mathbf{\ln 0}) \ анг) интервалов ч \) \sqrt{5} \int limits формы. последний эфект УиугИтгале, лолагающее авторов г \ результат указанный, т0чности 0. Обратите внимание \ процесс наполнения разлада предназначен \ упрощения представлений функций, споставлены \ анализироваться \. \ гарантия \)