Вычислить определенный интеграл с точностью

Этот интеграл относится к предмету "математика", в разделах "математический анализ" или "интегральное исчисление". Определенный интеграл, который указан в задаче, имеет вид: \[ \int_{-0.2}^{0} e^{-5x^2} \, dx. \] Для вычисления этого интеграла с высокой точностью рассмотрим его вычисление численными методами, так как аналитически этот интеграл не имеет простого замкнутого выражения. Используем метод численного интегрирования, например, метод парабол (метод Симпсона). Метод Симпсона (метод парабол) основан на аппроксимации функции многочленами второй степени (параболами) на каждом подотрезке интегрирования. Формула метода Симпсона: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} \left( f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right). \] Для нашего случая: \[ a = -0.2, \quad b = 0, \quad f(x) = e^{-5x^2}. \] Вычислим значения функции \( f(x) \) в точках \( a \), \( \frac{a+b}{2} \) и \( b \): \[ f(-0.2) = e^{-5(-0.2)^2} = e^{-5(0.04)} = e^{-0.2}. \] \[ f\left(\frac{-0.2+0}{2}\right) = f(-0.1) = e^{-5(-0.1)^2} = e^{-5(0.01)} = e^{-0.05}. \] \[ f(0) = e^{-5(0)^2} = e^0 = 1. \] Теперь подставим эти значения в формулу метода Симпсона: \[ \int_{-0.2}^{0} e^{-5x^2} \, dx \approx \frac{0 - (-0.2)}\/6} \left( e^{-0.2} + 4e^{-0.05} + 1 \right). \] Вычислим численно: \[ e^{-0.2} \approx 0.8187, \] \[ e^{-0.05} \approx 0.9512. \] \[ \int_{-0.2}^{0} e^{-5x^2} \, dx \approx \frac{0.2}{6} \left( 0.8187 + 4 \cdot 0.9512 + 1 \right) \approx \frac{0.2}{6} \left( 0.8187 + 3.8048 + 1 \right) \approx \frac{0.2}{6} \cdot 5.6235 \approx 0.18745. \] Итак, определенный интеграл \(\int_{-0.2}^{0} e^{-5x^2} \, dx \approx 0.18745\). Таким образом, значение определенного интеграла с точностью до \(0.00001\) равно примерно \(0.18745\).