Вычислить определенный интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Теперь решим заданные интегралы.

Задание: вычислить определенный интеграл $\text{[}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{\cos }^{4}xdx.\text{]}$

Для вычисления интеграла принимаем экспоненциальное разложение косинуса в степени. Используем тождество: $\text{[}{\cos }^{4}x={({\cos }^{2}x)}^2={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2.\text{]}$

Перепишем это выражение: $\text{[}{\cos }^{4}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{(1+\cos 2x{)}^2}{4}.\text{]}$

Теперь раскроем скобки в числителе: $\text{[}(1+\cos 2x{)}^2=1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x.\text{]}$

Подставим это обратно: $\text{[}{\cos }^{4}x=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}.\text{]}$

Используем тождество для $\text{(}{\cos }^{2}2x\text{)}$: $\text{[}{\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}.\text{]}$

Тогда: $\text{[}{\cos }^{4}x=\frac{1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}}{4}=\frac{1+2\cos 2x+0.5+0.5\cos 4x}{4}=\frac{1.5+2\cos 2x+0.5\cos 4x}{4}.\text{]}$

Разделим каждое слагаемое отдельно: $\text{[}{\cos }^{4}x=\frac{1.5}{4}+\frac{2\cos 2x}{4}+\frac{0.5\cos 4x}{4}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x.\text{]}$

Итак, интеграл: $\text{[}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{\cos }^{4}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x)dx.\text{]}$

Разделим этот интеграл на три части и интегрируем каждую отдельно:

1. $\text{[}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\frac{3}{8}dx=\frac{3}{8}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}dx=\frac{3}{8}{\left[x\right]}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{3}{8}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{48}=\frac{\pi }{16}.\text{]}$

2. $\text{[}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\frac{1}{2}\cos 2xdx=\frac{1}{2}{\left[\frac{\sin 2x}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{4}{[\sin 2x]}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{4}(\sin \frac{\pi }{3}-\sin 0)=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}.\text{]}$

3. $\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

Теперь суммируем все части: $\text{[}\frac{\pi }{16}+\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{64}=\frac{\pi }{16}+\frac{8\sqrt{3}}{64}+\frac{\sqrt{3}}{64}=\frac{\pi }{16}+\frac{9\sqrt{3}}{64}.\text{]}$

Таким образом, значение определенного интеграла: $\text{[}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{\cos }^{4}xdx=\frac{\pi }{16}+\frac{9\sqrt{3}}{64}.\text{]}$