Вычислить определенный интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Теперь решим заданные интегралы.

Задание: вычислить определенный интеграл \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^4 x \, dx. \]

Для вычисления интеграла принимаем экспоненциальное разложение косинуса в степени. Используем тождество: \[ \cos^4 x = \left(\cos^2 x\right)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2. \]

Перепишем это выражение: \[ \cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{(1 + \cos 2x)^2}{4}. \]

Теперь раскроем скобки в числителе: \[ (1 + \cos 2x)^2 = 1 + 2 \cos 2x + \cos^2 2x. \]

Подставим это обратно: \[ \cos^4 x = \frac{1 + 2 \cos 2x + \cos^2 2x}{4}. \]

Используем тождество для \( \cos^2 2x \): \[ \cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}. \]

Тогда: \[ \cos^4 x = \frac{1 + 2 \cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{1 + 2 \cos 2x + 0.5 + 0.5 \cos 4x}{4} = \frac{1.5 + 2 \cos 2x + 0.5 \cos 4x}{4}. \]

Разделим каждое слагаемое отдельно: \[ \cos^4 x = \frac{1.5}{4} + \frac{2 \cos 2x}{4} + \frac{0.5 \cos 4x}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x. \]

Итак, интеграл: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^4 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x \right) dx. \]

Разделим этот интеграл на три части и интегрируем каждую отдельно:

1. \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{3}{8} \, dx = \frac{3}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} dx = \frac{3}{8} \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{48} = \frac{\pi}{16}. \]

2. \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{4} \left[ \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{4} (\sin \frac{\pi}{3} - \sin 0) = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}. \]

3. \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{8} \cos 4x \, dx = \frac{1/8} \left[ \frac{\sin 4x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{32} \left[ \sin 4x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{32} (\sin \frac{2\pi}{3} - \sin 0) = \frac{1/32} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{64}. \]

Теперь суммируем все части: \[ \frac{\pi}{16} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{16} + \frac{8\sqrt{3}}{64} + \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{16} + \frac{9\sqrt{3}}{64}. \]

Таким образом, значение определенного интеграла: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^4 x \, dx = \frac{\pi}{16} + \frac{9\sqrt{3}}{64}. \]