Вычислить определенный интеграл

Условие:

вычислить определенный интеграл

Условие: вычислить определенный интеграл

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Теперь решим заданные интегралы.

Задание: вычислить определенный интеграл \[0π6cos4xdx.\]

Для вычисления интеграла принимаем экспоненциальное разложение косинуса в степени. Используем тождество: \[cos4x=(cos2x)2=(1+cos2x2)2.\]

Перепишем это выражение: \[cos4x=(1+cos2x2)2=(1+cos2x)24.\]

Теперь раскроем скобки в числителе: \[(1+cos2x)2=1+2cos2x+cos22x.\]

Подставим это обратно: \[cos4x=1+2cos2x+cos22x4.\]

Используем тождество для \(cos22x\): \[cos22x=1+cos4x2.\]

Тогда: \[cos4x=1+2cos2x+1+cos4x24=1+2cos2x+0.5+0.5cos4x4=1.5+2cos2x+0.5cos4x4.\]

Разделим каждое слагаемое отдельно: \[cos4x=1.54+2cos2x4+0.5cos4x4=38+12cos2x+18cos4x.\]

Итак, интеграл: \[0π6cos4xdx=0π6(38+12cos2x+18cos4x)dx.\]

Разделим этот интеграл на три части и интегрируем каждую отдельно:

1. \[0π638dx=380π6dx=38[x]0π6=38π6=3π48=π16.\]

2. \[0π612cos2xdx=12[sin2x2]0π6=14[sin2x]0π6=14(sinπ3sin0)=1432=38.\]

3. Missing or unrecognized delimiter for \left

Теперь суммируем все части: \[π16+38+364=π16+8364+364=π16+9364.\]

Таким образом, значение определенного интеграла: \[0π6cos4xdx=π16+9364.\]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут