Вычислить объём тела полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=x, y=1/x, x=3

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, интегралы, методы вычисления объёмов тел вращения

Задача: Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

• y = x
• y = \dfrac{1}{x}
• x = 3

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков

Найдём, при каких значениях x функции y = x и y = \dfrac{1}{x} пересекаются:

 x = \dfrac{1}{x} \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 

Нас интересует область, где x > 0, так как x = 3 — правая граница. Значит, точка пересечения — x = 1.

Таким образом, область вращения ограничена по оси x от x = 1 до x = 3.

Шаг 2: Объём тела вращения методом дисков/колец

Поскольку вращаем вокруг оси Ox, и границы области заданы функциями y = x (верхняя) и y = \dfrac{1}{x} (нижняя), при вращении получится тело с полостью внутри. Используем метод колец (кольцевых дисков):

Формула объёма тела вращения вокруг оси Ox:

 V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x)^2 - g(x)^2 \right] dx 

где:

• f(x) — внешняя (верхняя) функция: y = x
• g(x) — внутренняя (нижняя) функция: y = \dfrac{1}{x}
• a = 1, b = 3

Подставим:

 V = \pi \int_{1}^{3} \left[ x^2 - \left( \dfrac{1}{x} \right)^2 \right] dx = \pi \int_{1}^{3} \left( x^2 - \dfrac{1}{x^2} \right) dx 

Шаг 3: Вычислим интеграл

Рассчитаем:

 \int_{1}^{3} \left( x^2 - \dfrac{1}{x^2} \right) dx = \int_{1}^{3} x^2 dx - \int_{1}^{3} \dfrac{1}{x^2} dx 

Вычислим каждый интеграл:

1. \int_{1}^{3} x^2 dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}

2. \int_{1}^{3} \dfrac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{3} x^{-2} dx = \left[ \dfrac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{3} = \left[ -\dfrac{1}{x} \right]_{1}^{3} = -\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3}

Теперь подставим:

 V = \pi \left( \dfrac{26}{3} - \dfrac{2}{3} \right) = \pi \cdot \dfrac{24}{3} = 8\pi 

Ответ:

V = 8\pi

Объём тела вращения равен 8\pi кубических единиц.