Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Вычислить объём тела, ограниченный поверхностями: z = x^2 + y^2; (x-1)^2 + y^2 = 1; z = 6
Условие:
Вычислить объём тела, ограниченный поверхностями: z = x^2 + y^2; (x-1)^2 + y^2 = 1; z = 6
Решение:
Данный вопрос связан с областью "Математика," а более конкретно — разделом "Математический анализ" и "Кратные интегралы". В нем требуется вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.
Задание:
Необходимо вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
- z = x^2 + y^2,
- (x-1)^2 + y^2 = 1,
- z = 6.
Шаг 1: Описание поверхностей
- Поверхность z = x^2 + y^2 — это параболоид. Он открыт вверх и зависит от (x, y), то есть каждый срез по плоскости z = \text{const} — это окружность.
- Поверхность (x - 1)^2 + y^2 = 1 — это окружность радиуса 1 с центром в точке (x, y) = (1, 0).
- Поверхность z = 6 — это горизонтальная плоскость, которая ограничивает тело сверху.
Таким образом, наше тело — это область между параболоидом z = x^2 + y^2 и плоскостью z = 6 внутри окружности (x - 1)^2 + y^2 = 1.
Шаг 2: Переход к цилиндрическим координатам
Чтобы упростить вычисления, рассмотрим переход к цилиндрическим координатам (r, \theta, z), где:
- x = r\cos\theta,
- y = r\sin\theta.
Тогда z = x^2 + y^2 = r^2. Сама окружность (x - 1)^2 + y^2 = 1 в полярных координатах записывается как:
r = 2\cos\theta.Шаг 3: Пределы интегрирования
- Изменение \(\theta\) от \(0\) до \(2\pi\), так как окружность охватывает весь диапазон углов.
- Изменение \(\r\) в пределах от 0 до \(2\cos\theta\), поскольку окружность радиуса 1 сдвинута на 1 по оси \(x\).
- Изменение \(\z\) от \(r^2\) (параболоид) до 6 (плоскость).
Шаг 4: Выражение объема через кратный интеграл
Теперь можем записать объем через тройной интеграл в цилиндрических координатах:
V = \int_0^{2\pi} \int_0^{2\cos\theta} \int_{r^2}^6 r \, dz \, dr \, d\theta.Мы умножаем на \(r\) из-за перехода к цилиндрическим координатам, так как якобиан перехода в этих координатах равен \(r\).
Шаг 5: Вычисление интегралов
Вычислим сначала внутренний интеграл по \(z\):
\int_{r^2}^{6} dz = 6 - r^2.Подставляем это и получаем следующий двойной интеграл:
V = \int_0^{2\pi} \int_0^{2\cos\theta} r(6 - r^2) \, dr \, d\theta.Внутренний интеграл по \(r\):
\int_0^{2\cos\theta} r(6 - r^2) \, dr = \int_0^{2\cos\theta} (6r - r^3) \, dr.Интегрируем каждое слагаемое:
6\int_0^{2\cos\theta} r \, dr = 6 \left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{2\cos\theta} = 6 \cdot 2 \cdot \cos^2\theta = 12\cos^2\theta, -\int_0^{2\cos\theta} r^3 \, dr = -\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{2\cos\theta} = -\frac{(2\cos\theta)^4}{4} = -4\cos^4\theta.Таким образом, полный результат интегрирования по \(r\):
\int_0^{2\cos\theta} r(6 - r^2) \, dr = 12\cos^2\theta - 4\cos^4\theta.Осталось проинтегрировать по \(theta\):
V = \int_0^{2\pi} (12\cos^2\theta - 4\cos^4\theta) \, d\theta.Шаг 6: Решение интегралов по \(theta\)
\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \pi, \int_0^{2\pi} \cos^4\theta \, d\theta = \frac{3\pi}{4}.Подставляем:
V = 12\pi - 4 \cdot \frac{3\pi}{4} = 12\pi - 3\pi = 9\pi.Ответ:
Объем тела равен 9\pi.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку