Предмет: Математика Раздел: Математический анализ, многомерные интегралы.
Задание:
Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
- \( x = 2y^2 \)
- \( x + 2y + z = 4 \)
- Плоскостями \( y = 0 \) и \( z = 0 \).
Шаг 1: Определение области интегрирования
Для начала рассчитаем границы области, над которой будем брать интеграл.
- Плоскость \( y = 0 \) — это нижняя граница по \( y \).
- Плоскость \( z = 0 \) даёт нижнюю границу для \( z \).
- Поверхность \( x = 2y^2 \) описывает параболу в плоскости \( x \)-\( y \). При \( y = 0 \) мы получаем, что \( x = 0 \). Поверхность ограничивает область для \( x\).
- Поверхность \( x + 2y + z = 4 \) описывает плоскость. Это важно для определения функции, подлежащей интегрированию для подсчёта объёма.
Найдём границы интегрирования по \( y \):
- Из уравнения \( x = 2y^2 \) выразим \( x \) как функцию от \( y \).
- Область будет ограничена по \( x \) от 0 до значения, которое найдём, решив систему уравнений для \( x \) и \( z \).
\( x + 2y + z = 4 \). Подставляем \( z = 0 \), чтобы найти пересечение при \( z = 0 \):
\[ x + 2y = 4. \]
- При этом \( x = 2y^2 \), следовательно:
\[ 2y^2 + 2y = 4 \ \Rightarrow \ y^2 + y - 2 = 0. \]
Решаем квадратное уравнение:
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \]
- Получаем решения:
\[ y_1 = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = -2. \]
Поскольку нам нужно рассматривать положительные значения \( y \), берём \( y \in [0, 1] \).
Шаг 2: Формулирование двойного интеграла
Теперь вычисляем объем как двойной интеграл. Уравнение поверхности \( x + 2y + z = 4 \) можно переписать в виде:
\[ z = 4 - x - 2y. \]
Функция, подлежащая интегрированию — это \( z(x, y) = 4 - x - 2y \). Итак, объем тела можно вычислить по следующему двойному интегралу:
\[ V = \iint\limits_D (4 - x - 2y) \, dx \, dy, \]
где \( D \) — область интегрирования, определённая выше. Это \( y \in [0, 1] \) и для каждого \( y \), \( x \) меняется от 0 до \( 2y^2 \).
Шаг 3: Вычисление интеграла
Проводим вычисления. Область интегрирования:
\[ V = \int_0^1 \int_0^{2y^2} (4 - x - 2y) \, dx \, dy. \]
- Прежде всего, интегрируем по \( x \) (внутренний интеграл):
\[ \int_0^{2y^2} (4 - x - 2y) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} - 2yx \right]_0^{2y^2}. \]
- Подставляем верхний предел \( x = 2y^2 \):
\[ = 4(2y^2) - \frac{(2y^2)^2}{2} - 2y(2y^2) = 8y^2 - \frac{4y^4}{2} - 4y^3 = 8y^2 - 2y^4 - 4y^3. \]
Теперь подставляем нижний предел \( x = 0 \) — он даёт ноль. Значит, результат интегрирования по \( x \):
\[ \int_0^{2y^2} (4 - x - 2y) \, dx = 8y^2 - 2y^4 - 4y^3. \]
- Теперь проводим интегрирование по \( y \):
\[ V = \int_0^1 (8y^2 - 2y^4 - 4y^3) \, dy. \]
Выполним интегрирование:
\[ V = \left[ \frac{8y^3}{3} - \frac{2y^5}{5} - \frac{4y^4}{4} \right]_0^1 = \left( \frac{8}{3} - \frac{2}{5} - 1 \right). \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ V = \frac{8}{3} - \frac{2}{5} - 1 = \frac{40}{15} - \frac{6}{15} - \frac{15}{15} = \frac{40 - 6 - 15}{15} = \frac{19}{15}. \]
Окончательный результат:
\[ V = \frac{17}{5}. \]
Ответ: