Вычислить область D - треугольник с вершинами А(0; - 1), B(0; 2) и С (1; 0)

Мы имеем дело с предметом математического анализа, раздел "двойные интегралы и вычисление площади." Чтобы вычислить двойной интеграл \(\iint_D 9x^2y \, dx \, dy\) для треугольника D с вершинами \(A(0, -1)\), \(B(0, 2)\) и \(C(1, 0)\), сначала определим область интегрирования \(D\):

1. Построение области D:
   • Вершина \(A(0, -1)\)
   • Вершина \(B(0, 2)\)
   • Вершина \(C(1, 0)\)
   Переносим эти точки на координатную плоскость. Область \(D\) - это треугольник с вершинами \(A, B\), и \(C\).
2. Уравнение сторон треугольника:
   • Сторона \(AB\) (вертикальная линия): \(x = 0\) от \(y = -1\) до \(y = 2\).
   • Сторона \(AC\): вычислим уравнение прямой. Составляем уравнение через точки: \[ y + 1 = \frac{1 - (-1)}{1 - 0}(x - 0) \implies y + 1 = 2x \implies y = 2x - 1. \]
   • Сторона \(BC\): уравнение прямой: \[ y - 2 = \frac{0 - 2}{1 - 0}(x - 0) \implies y - 2 = -2x \implies y = -2x + 2. \]
3. Пределы интегрирования:
   • По \(x\): от 0 до 1. (от вершины А до вершины С)
   • По \(y\): от \(2x - 1\) до \(-2x + 2\) для каждой точки \(x\).
   Двойной интеграл можно записать: \[ \iint_D 9x^2y \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \left( \int_{2x-1}^{-2x+2} 9x^2y \, dy \right) dx \]
4. Вычисление внутреннего интеграла: \[ \int_{2x-1}^{-2x+2} 9x^2y \, dy. \] Первоначально проинтегрируем по \(y\): \[ 9x^2 \int_{2x-1}^{-2x+2} y \, dy = 9x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{2x-1}^{-2x+2} = 9x^2 \left( \frac{(-2x+2)^2}{2} - \frac{(2x-1)^2}{2} \right). \] Вычислим каждое выражение отдельно: \[ (-2x+2)^2 = 4x^2 - 8x + 4, \] \[ (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1. \] Значит, \[ 9x^2 \left( \frac{4x^2 - 8x + 4}{2} - \frac{4x^2 - 4x + 1}{2} \right) = 9x^2 \left( \frac{4x^2 - 8x + 4 - 4x^2 + 4x - 1}{2} \right) \] \[ = 9x^2 \left( \frac{-4x + 3}{2} \right) = \frac{9x^2(-4x + 3)}{2} = \frac{-36x^3 + 27x^2}{2}. \]
5. Вычисление внешнего интеграла: \[ \int_{0}^{1} \frac{-36x^3 + 27x^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (-36x^3 + 27x^2) \, dx. \] Теперь, интегрируем каждый элемент: \[ = \frac{1}{2} \left( -36 \int_{0}^{1} x^3 \, dx + 27 \int_{0}^{1} x^2 \, dx \right). \] Вычислим: \[ = \frac{1}{2} \left( -36 \cdot \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 + 27 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( -9 + 9 \right) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0. \] Таким образом, значение двойного интеграла равно \(0\).