Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Интегралы, объёмы тел вращения

Условие задачи:

Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций:

• y = \arcsin x,
• y = \arccos x,
• y = 0,

вокруг оси Oy (оси Y), используя второй метод — интегрирование по переменной y.

Шаг 1: Определим границы интегрирования

Графики функций y = \arcsin x и y = \arccos x определены на отрезке x \in [-1, 1]. Однако, чтобы найти область, ограниченную этими графиками, рассмотрим, какие значения принимает y:

• y = \arcsin x принимает значения от -\frac{\pi}{2} до \frac{\pi}{2}
• y = \arccos x принимает значения от 0 до \pi

Но нас интересует область, где обе функции определены на общих значениях x от 0 до 1 (или от -1 до 1), но по условию также дана граница y = 0, и вращение происходит вокруг оси Oy. Поэтому мы должны выразить x через y и интегрировать по y.

Шаг 2: Выразим x как функцию от y

Для интегрирования по y нам нужно выразить x из уравнений:

• Из y = \arcsin x получаем: x = \sin y
• Из y = \arccos x получаем: x = \cos y

Таким образом, область ограничена между графиками x = \sin y и x = \cos y.

Шаг 3: Найдём точки пересечения

Найдём значения y, при которых \sin y = \cos y:

\sin y = \cos y \Rightarrow \tan y = 1 \Rightarrow y = \frac{\pi}{4}

Теперь определим диапазон y, на котором обе функции определены:

• x = \sin y определена при y \in [0, \frac{\pi}{2}]
• x = \cos y определена при y \in [0, \frac{\pi}{2}]

Итак, область между x = \sin y и x = \cos y от y = 0 до y = \frac{\pi}{4}.

Шаг 4: Формула объема тела вращения вокруг оси Oy (интегрирование по y)

При вращении вокруг оси Oy, объём тела вращения вычисляется по формуле:

 V = \pi \int_{a}^{b} \left( [x_{\text{внешняя}}(y)]^2 - [x_{\text{внутренняя}}(y)]^2 \right) dy 

В нашем случае:

• внешняя граница: x = \cos y
• внутренняя граница: x = \sin y
• границы интегрирования: от y = 0 до y = \frac{\pi}{4}

Подставим в формулу:

 V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \cos^2 y - \sin^2 y \right) dy 

Шаг 5: Упростим выражение под интегралом

\cos^2 y - \sin^2 y = \cos(2y)

Следовательно:

 V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2y) \, dy 

Шаг 6: Вычислим интеграл

 \int \cos(2y) \, dy = \frac{1}{2} \sin(2y) 

Подставим пределы:

 V = \pi \cdot \left[ \frac{1}{2} \sin(2y) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \pi \cdot \left( \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2} \sin(0) \right) 

 V = \pi \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \right) = \frac{\pi}{2} 

✅ Ответ:

V = \frac{\pi}{2}

Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками y = \arcsin x, y = \arccos x и y = 0 вокруг оси Oy, равен \frac{\pi}{2}.