Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Предмет данного задания - это интегральное исчисление, раздел - вычисление объемов тел, ограниченных поверхностями.

Пошаговое решение задания

Для вычисления объёма тела, ограниченного заданными поверхностями, воспользуемся тройным интегралом.

1. Параметры интеграла: Поверхности описаны уравнениями: \[ z = \frac{16 - x^2 - y^2}{\pi} \quad \text{и} \quad z = \frac{12}{\pi}, \] и ограничены плоскостями \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \).
2. Пересечение двух поверхностей: Найдём границы области интегрирования. Приравняем две поверхности: \[ \frac{16 - x^2 - y^2}{\pi} = \frac{12}{\pi}. \] Умножим обе части на \( \pi \): \[ 16 - x^2 - y^2 = 12. \] Отсюда: \[ x^2 + y^2 = 4. \] Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке (0, 0).
3. Перепишем объем как тройной интеграл: \[ V = \iiint\limits_{D} dV, \] где \( D \) - область интегрирования.
4. Область интегрирования: Область интегрирования в плоскости \( xy \) - это первая четверть окружности \( x^2 + y^2 \leq 4 \). \[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \left( \frac{16 - x^2 - y^2}{\pi} - \frac{12}{\pi} \right) r \, dr \, d\theta. \]
5. Перепишем в полярных координатах: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta. \] Объем: \[ V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \left(\frac{16 - r^2}{\pi} - \frac{12}{\pi}\right) r \, dr \, d\theta. \]
6. Упростим подынтегральное выражение: \[ V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \frac{4 - r^2}{\pi} r \, dr \, d\theta. \]
7. Вынесем \( \frac{1}{\pi} \) за знак интеграла: \[ V = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} (4r - r^3) \, dr \, d\theta. \]
8. Найдём интеграл по \( r \): \[ \int_{0}^{2} (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left(2 \cdot 4 - \frac{16}{4}\right) - \left( 0 - 0 \right) = 8 - 4 = 4. \]
9. Найдём интеграл по \( \theta \): \[ V = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \, d\theta = \frac{4}{\pi} \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 2. \] Таким образом, объем тела равен \( 2 \) кубическим единицам.