Вычислить объем тела, которое получается вращением эллипса вокруг оси

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ — Вычисление объема тел вращения

Дано:

От нас требуют вычислить объем тела, которое получается вращением эллипса вокруг оси \(Ox\).

Уравнение эллипса:

\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{1} = 1 \]

Данное уравнение эллипса описывает, что полуось по оси \(x\) равна \(4\) (так как \(a = \sqrt{16} = 4\)), а полуось по оси \(y\) равна \(1\) (так как \(b = \sqrt{1} = 1\)).

Вращение радиус-вектора замкнутой линии (эллипса) вокруг оси \(Ox\) приведет к образованию тела вращения — эллипсоида вращения.

Для вычисления объема тела вращения воспользуемся формулой объема тела вращения вокруг оси \(OX\) с использованием метода цилиндрических слоев:

\[ V = \pi \int_{x_1}^{x_2} y^2 \, dx \]

Шаг 1. Выразим \(y\) из уравнения эллипса.

Уравнение эллипса:

\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{1} = 1 \]

Решим относительно \(y^2\):

\[ y^2 = 1 - \frac{x^2}{16} \]

Шаг 2. Пределы интегрирования.

Поскольку \(x\) изменяется от \(-4\) до \(4\) (границы большой полуоси эллипса), то пределы интегрирования: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 4\).

Шаг 3. Подставляем \(y^2\) в формулу объема.

Формула для объема тела, образованного вращением вокруг оси \(Ox\):

\[ V = \pi \int_{-4}^{4} \left(1 - \frac{x^2}{16}\right) dx \]

Шаг 4. Интегрируем.

Разделим интеграл на два:

\[ V = \pi \left[ \int_{-4}^{4} 1 \, dx - \int_{-4}^{4} \frac{x^2}{16} \, dx \right] \]

1-й интеграл:

\[ \int_{-4}^{4} 1 \, dx = x \Big|_{-4}^{4} = 4 - (-4) = 8 \]

2-й интеграл:

\[ \int_{-4}^{4} \frac{x^2}{16} \, dx = \frac{1}{16} \int_{-4}^{4} x^2 \, dx \]

Это стандартный интеграл для \(x^2\) на симметричном интервале \([-a, a]\):

\[ \int_{-a}^{a} x^2 \, dx = \frac{2a^3}{3} \]

Подставляем \(a = 4\):

\[ \int_{-4}^{4} x^2 \, dx = \frac{2 \cdot 4^3}{3} = \frac{2 \cdot 64}{3} = \frac{128}{3} \]

Теперь находим второй интеграл:

\[ \int_{-4}^{4} \frac{x^2}{16} \, dx = \frac{1}{16} \cdot \frac{128}{3} = \frac{128}{48} = \frac{8}{3} \]

Шаг 5. Подставляем значения в формулу объема.

Теперь можем вычислить объем:

\[ V = \pi \left[ 8 - \frac{8}{3} \right] = \pi \cdot \frac{24 - 8}{3} = \pi \cdot \frac{16}{3} \]

Ответ:

Объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси \(Ox\), равен:

\[ V = \frac{16\pi}{3} \]