Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Несобственные интегралы

Рассмотрим данный несобственный интеграл:

 \int\limits_{2}^{\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^3} 

Шаг 1: Подстановка

Выполним замену переменной:

Пусть u = \ln x, тогда du = \frac{1}{x} dx

Пределы интегрирования при этой замене:

• при x = 2, u = \ln 2
• при x \to \infty, u \to \infty

Тогда интеграл принимает вид:

 \int\limits_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u^3} \, du 

Шаг 2: Вычисление интеграла

 \int\limits_{\ln 2}^{\infty} u^{-3} \, du = \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_{\ln 2}^{\infty} = \left( 0 - \left( \frac{(\ln 2)^{-2}}{-2} \right) \right) = \frac{1}{2 (\ln 2)^2} 

Ответ:

Интеграл сходится, и его значение:

 \int\limits_{2}^{\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^3} = \frac{1}{2 (\ln 2)^2}