Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Несобственные интегралы

Задание:
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx

Шаг 1: Проверим, является ли данный интеграл несобственным

Интеграл
\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx
является несобственным интегралом второго рода, так как верхний предел интегрирования — бесконечность.

Шаг 2: Найдём первообразную функции

Рассмотрим функцию:
f(x) = \frac{\ln x}{x}

Для нахождения первообразной воспользуемся заменой:
Пусть u = \ln x, тогда
du = \frac{1}{x} dx,
а значит:
\frac{\ln x}{x} dx = u \, du

Интеграл превращается в:
\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C

Таким образом,
\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C

Шаг 3: Подставим пределы в несобственный интеграл

Рассмотрим предел:
 \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{2}^{t} \frac{\ln x}{x} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{2}^{t} = \lim_{t \to +\infty} \left( \frac{(\ln t)^2}{2} - \frac{(\ln 2)^2}{2} \right) 

Так как \ln t \to +\infty при t \to +\infty, то
\frac{(\ln t)^2}{2} \to +\infty

Следовательно,
\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx = \infty

Ответ:

Интеграл расходится, то есть
\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx = \infty