Вычислить неопределенные интегралы

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим интеграл: \[ \int \frac{e^{3 \ln x + 5}}{\cos^2 x} \, dx \]

Для упрощения интеграла сначала упростим показатель экспоненты: \[ e^{3 \ln x + 5} = e^{3 \ln x} \cdot e^{5} \]

\[ e^{3 \ln x} = (e^{\ln x})^3 = x^3 \]

Таким образом, у нас получается: \[ e^{3 \ln x + 5} = e^5 \cdot x^3 \]

Перепишем интеграл с учетом этой замены: \[ \int \frac{e^5 \cdot x^3}{\cos^2 x} \, dx = e^5 \int \frac{x^3}{\cos^2 x} \, dx \]

Теперь сделаем замену переменной: \[ t = \tan x \]

Тогда \( dt = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx \) или \( dx = \cos^2 x \, dt \).

Подставим эту замену в наш интеграл: \[ e^5 \int x^3 \, dt \]

Однако здесь есть проблема: переменные \(x\) и \(t\) остаются в выражении интеграла. Необходимо одновременно упростить \( x^3 \) и \( \cos^2 x \), используя известное связывание между ними. Проще всего здесь воспользоваться замещением \( u = \tan x \).

При этом: \[ du = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx \implies dx = \cos^2 x \, du \]

Теперь \( x = \arctan u \), заменим \( x^3 \) на \( \arctan(u)^3 \) и \( \cos^2 x \) на \( \cos^2(\arctan u) \).

\[ \cos(\arctan u) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \implies \cos^2(\arctan u) = \frac{1}{1+u^2} \]

Так что интеграл становится: \[ e^5 \int \arctan(u)^3 \, du \]

Этот Integral можно решить по частям или сократить, далее замечение переменной на специфичное обращение. На этом уровне довольно трудно без дополнительного контекста уточнений. В простом случае результат удлиния локального контекста принят в этом виде.