Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (интегральное исчисление, определение массы тела)

Мы будем искать массу тела, ограниченного заданными поверхностями. Для этого нам нужно использовать тройной интеграл по области D, описывающей тело, с учетом плотности тела. В данной задаче плотность явно не указана, поэтому примем её за постоянную и равную \( ρ(x, y, z) = 1 \), чтобы найти просто объём тела.

Определение области \( D \):

Исходя из условия задачи, тело ограничено:

1. Плоскостью \( x + y + z = 3 \).
2. Плоскостью \( z = 0 \) (это нижняя граница для координаты \( z \), поверхность лежит на плоскости \( xy \)).
3. Плоскостью \( y = 1 \) (это ограничение на координату \( y \), поверхность тела находится между \( y = 0 \) и \( y = 1 \)).

Область интегрирования:

1. \( z \) изменяется от 0 до \( z = 3 - x - y \) (это плоскость \( x + y + z = 3 \), выраженная относительно переменной \( z \)).
2. \( y \) изменяется от 0 до 1 (ограничение по \( y \)).
3. \( x \) изменяется от 0 до 3 (из уравнения \( x + y + z = 3 \), при \( y = 0 \) и \( z = 0 \), \( x \) принимает максимальное значение 3).

Формула для массы \( M \):

Масса тела \( M \) выражается как тройной интеграл по области \( D \) с плотностью \( ρ(x, y, z) = 1 \):

\[ M = \iiint_D ρ(x, y, z) \, dx \, dy \, dz \]

Так как плотность равна 1, то масса совпадает с объёмом тела:

\[ M = \int_0^3 \int_0^1 \int_0^{3 - x - y} dz \, dy \, dx \]

Решение тройного интеграла:

1. Вычислим внутренний интеграл по \( z \):

\[ \int_0^{3 - x - y} dz = [z]_0^{3 - x - y} = 3 - x - y \]

2. Теперь вычислим двойной интеграл:

\[ M = \int_0^3 \int_0^1 (3 - x - y) dy \, dx \]

3. Выполним интегрирование по \( y \):

\[ \int_0^1 (3 - x - y) dy = [3y - xy - \frac{y^2}{2}]_0^1 = 3(1) - x(1) - \frac{1^2}{2} = 3 - x - \frac{1}{2} \]

4. Теперь вычислим оставшийся интеграл по \( x \):

\[ M = \int_0^3 \left( 3 - x - \frac{1}{2} \right) dx = \int_0^3 \left( \frac{5}{2} - x \right) dx \]

5. Выполним интегрирование по \( x \):

\[ \int_0^3 \left( \frac{5}{2} - x \right) dx = \left[ \frac{5}{2}x - \frac{x^2}{2} \right]_0^3 = \frac{5}{2}(3) - \frac{3^2}{2} = \frac{15}{2} - \frac{9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Ответ:

Масса тела равна 3.