Вычислить l - кусок параболы у = 3x^2 - 9, соединяющей т. А(0; -9) и т. В(3; 18)

Для решения данной задачи необходимо использовать интегрирование и свойства параболы.

1. Определим функцию \( y = 3x^2 - 9 \).
2. Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 9) = 6x \]
3. Формула длины дуги кривой \( y = f(x) \) имеет вид: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] Для нашей функции: \[ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = (6x)^2 = 36x^2 \] И подставляем в формулу: \[ L = \int_0^3 \sqrt{1 + 36x^2} \, dx \]
4. Для нахождения интеграла используем подстановку и метод вычисления неопределенного интеграла. Подставим \(u = 1 + 36x^2 \Rightarrow du = 72x\, dx \): \[ L = \int_0^3 \sqrt{1 + 36x^2} \, dx = \int \frac{1}{6} \sqrt{u} \frac{du}{36x} \] Теперь изменим пределы интегрирования. При \( x = 0 \Rightarrow u = 1 \), при \( x = 3 \Rightarrow u = 1 + 36(3)^2 = 1 + 324 = 325 \). Теперь перепишем интеграл в новых пределах: \[ L = \int_1^{325} \frac{1}{6} \sqrt{u} \frac{du}{72x} \] Упростим коэффициенты и интегрируем: \[ L = \frac{1}{6} \int_1^{325} u^{1/2} \, du \] Вычислим интеграл: \[ \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} \] Теперь подставим полученный результат обратно, и используем пределы: \[ L = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} \left[ \frac{325^{3/2}}{3} \bigg|_1^{325} \right] \] \[ L = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} \left(\frac{650 \sqrt{325}-{2 \cdot 1^{3/2}}}{3}\right) \] \[ L = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot (650 \sqrt{325}-\frac{2}{3}) \] Для нахождения интеграла используем численное значение, округлим: \[ L \approx 150 \] Для точного вычисления используем подходящий метод численного интегрирования, или таблицы значений.