Вычислить криволинейный интеграл второго рода

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Криволинейные интегралы)

Нам нужно вычислить криволинейный интеграл второго рода:

\int_L (x^2 + y^2)^2 \, dl,

где L — это первая четверть окружности радиуса p = 2.

Шаг 1. Параметризация окружности

Окружность задается в полярных координатах уравнением r = 2. В декартовых координатах это выражается как:

x = 2\cos\theta, \quad y = 2\sin\theta,

где \theta — угол, изменяющийся от 0 до \pi/2 (так как рассматривается только первая четверть окружности).

Шаг 2. Выражение для dl

Элемент длины дуги dl для параметрической кривой выражается как:

dl = \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \, d\theta.

Находим производные x и y по \theta:

\frac{dx}{d\theta} = -2\sin\theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = 2\cos\theta.

Подставляем их в формулу для dl:

dl = \sqrt{(-2\sin\theta)^2 + (2\cos\theta)^2} \, d\theta = \sqrt{4\sin^2\theta + 4\cos^2\theta} \, d\theta.

Используем основное тригонометрическое тождество \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1:

dl = \sqrt{4} \, d\theta = 2 \, d\theta.

Шаг 3. Подставляем в интеграл

Подставляем параметризацию x = 2\cos\theta и y = 2\sin\theta в выражение (x^2 + y^2)^2:

x^2 + y^2 = (2\cos\theta)^2 + (2\sin\theta)^2 = 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta.

Снова используем тождество \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1:

x^2 + y^2 = 4.

Следовательно, (x^2 + y^2)^2 = 4^2 = 16.

Теперь интеграл принимает вид:

\int_L (x^2 + y^2)^2 \, dl = \int_0^{\pi/2} 16 \cdot 2 \, d\theta = \int_0^{\pi/2} 32 \, d\theta.

Шаг 4. Вычисляем интеграл

Интеграл \int_0^{\pi/2} 32 \, d\theta равен:

32 \cdot \int_0^{\pi/2} 1 \, d\theta = 32 \cdot \left[\theta\right]_0^{\pi/2} = 32 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = 32 \cdot \frac{\pi}{2} = 16\pi.

Ответ:

Криволинейный интеграл равен:

16\pi.