Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги четверти окружности

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, криволинейные интегралы

Нужно вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги четверти окружности, заданной параметрически:
x = 4\cos t, \, y = 4\sin t, \, t \in [\pi, \frac{3\pi}{2}] (четвертый квадрант).

Интеграл задан как:
\int_L (x^2y)\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^{\frac{1}{3}} \, ds,
где ds — элемент длины дуги.

Решение:

1. Элемент длины дуги
   Элемент длины дуги выражается через параметризацию x(t) и y(t):
   ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt.

Вычислим производные:
\frac{dx}{dt} = -4\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 4\cos t.

Подставим в формулу для ds:
\begin{aligned} ds &= \sqrt{(-4\sin t)^2 + (4\cos t)^2} \, dt \ &= \sqrt{16\sin^2 t + 16\cos^2 t} \, dt \ &= \sqrt{16(\sin^2 t + \cos^2 t)} \, dt \ &= 4 \, dt. \end{aligned}

2. Параметризация подынтегрального выражения
   Подставим x = 4\cos t и y = 4\sin t в x^2y\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^{\frac{1}{3}}:

• Найдем x^2 и y:
  x^2 = (4\cos t)^2 = 16\cos^2 t, \quad y = 4\sin t.

• Найдем \sqrt{x^2 + y^2}:
  \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4\cos t)^2 + (4\sin t)^2} = \sqrt{16(\cos^2 t + \sin^2 t)} = 4.

• Подставим:
  x^2y\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^{\frac{1}{3}} = (16\cos^2 t)(4\sin t)(4^{\frac{1}{3}}) = 64\cos^2 t \sin t \cdot 4^{\frac{1}{3}}.

3. Интеграл
   Интеграл становится:
   \int_L (x^2y)\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^{\frac{1}{3}} \, ds = \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} 64\cos^2 t \sin t \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4 \, dt.

Вынесем константы:
\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} 64\cos^2 t \sin t \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4 \, dt = 256 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \cos^2 t \sin t \, dt.

4. Упрощение интеграла
   Используем замену:
   u = \cos t, \, du = -\sin t \, dt.
   Пределы интегрирования при t = \pi: u = \cos \pi = -1,
   при t = \frac{3\pi}{2}: u = \cos \frac{3\pi}{2} = 0.

Интеграл становится:
256 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \cos^2 t \sin t \, dt = -256 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \int_{-1}^{0} u^2 \, du.

Вычислим:
\int_{-1}^0 u^2 \, du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^0 = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}.

Подставим:
-256 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{256}{3} \cdot 4^{\frac{1}{3}}.

Ответ:

\int_L (x^2y)\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^{\frac{1}{3}} \, ds = -\frac{256}{3} \cdot 4^{\frac{1}{3}}.