Вычислить криволинейный интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ / Криволинейные интегралы (интегралы первого рода)

Задание:

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

 \int\limits_L x \, dl, 

где кривая L задана уравнением y = x^2 при 0 \le x \le 1.

Решение:

Криволинейный интеграл первого рода по кривой L вычисляется по формуле:

 \int\limits_L f(x, y) \, dl = \int\limits_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt, 

где x = x(t), y = y(t) — параметризация кривой.

Шаг 1: Параметризация кривой

У нас задана кривая:
y = x^2, x \in [0, 1]

Параметризуем кривую: x = t, \quad y = t^2, \quad t \in [0, 1]

Шаг 2: Вычисление производных

Найдем производные: \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t

Шаг 3: Подстановка в формулу криволинейного интеграла

Подставим в формулу:

 \int\limits_L x \, dl = \int\limits_0^1 t \cdot \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt = \int\limits_0^1 t \cdot \sqrt{1^2 + (2t)^2} \, dt 

 = \int\limits_0^1 t \cdot \sqrt{1 + 4t^2} \, dt 

Шаг 4: Интегрирование

Пусть u = 1 + 4t^2, тогда du = 8t \, dt, отсюда t \, dt = \frac{1}{8} \, du

При t = 0, u = 1
При t = 1, u = 5

Подставим:

 \int\limits_0^1 t \cdot \sqrt{1 + 4t^2} \, dt = \int\limits_1^5 \sqrt{u} \cdot \frac{1}{8} \, du = \frac{1}{8} \int\limits_1^5 u^{1/2} \, du 

Вычислим интеграл:

 \frac{1}{8} \cdot \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_1^5 = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left(5^{3/2} - 1^{3/2} \right) 

 = \frac{1}{12} \left(5\sqrt{5} - 1 \right) 

Ответ:

 \boxed{ \frac{1}{12} \left(5\sqrt{5} - 1 \right) }