Вычислить кратные интегралы, переключившись на полярную систему координат

Определение предмета и темы: Это задача из раздела математического анализа. Она связана с вычислением кратных интегралов, а именно, с преобразованием области интегрирования и функции в полярную систему координат.

Условие задачи:

Нужно вычислить двойной интеграл: \[ \iint\limits_{D} \frac{dx \, dy}{(1+x^2+y^2)^{3/2}}, \] где область интегрирования \( D \) — это прямоугольник: \[ 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1. \]

Решение:

Шаг 1: Замена на полярную систему координат

Для решения этого интеграла выгодно перейти в полярные координаты. Формулы преобразования: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \] а элемент площади в полярных координатах выражается как: \[ dx \, dy = r \, dr \, d\theta. \] Также преобразуем подынтегральное выражение: \[ 1 + x^2 + y^2 = 1 + r^2, \] и тогда интеграл приобретает вид: \[ \iint\limits_D \frac{r \, dr \, d\theta}{(1 + r^2)^{3/2}}. \]

Шаг 2: Определение области интегрирования

Область \( D \) в данном случае является квадратом \( 0 \leq x \leq 1 \) и \( 0 \leq y \leq 1 \), но нам нужно выразить область интегрирования в полярных координатах. Сначала оценим радиус и углы. Так как обе переменные \( x \) и \( y \) изменяются от 0 до 1, то в полярных координатах у нас будут такие же ограничения: - \( r \) — радиус от \( 0 \) до \( \sqrt{2} \), чтобы покрыть диагональ квадрата; - \( \theta \) — угол от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \) (четверть круга).

Шаг 3: Решение интеграла по углу \( \theta \)

Интеграл по углу мы можем вынести отдельно, так как функция от угла не зависит: \[ \int_0^{\pi / 2} d\theta = \frac{\pi}{2}. \]

Шаг 4: Решение радиальной части интеграла

Теперь решим радиальный интеграл: \[ \int_0^{\sqrt{2}} \frac{r \, dr}{(1 + r^2)^{3/2}}. \] Для этого применим замену переменной: \[ u = 1 + r^2, \quad du = 2r \, dr. \] При \( r = 0 \), \( u = 1 \), а при \( r = \sqrt{2} \), \( u = 3 \). Тогда интеграл примет вид: \[ \frac{1}{2} \int_1^3 \frac{du}{u^{3/2}}. \] Это элементарный интеграл, который решается так: \[ \frac{1}{2} \int_1^3 u^{-3/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ -2 u^{-1/2} \right]_1^3 = \left[-u^{-1/2}\right]_1^3. \] Теперь подставим пределы: \[ -\frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}. \]

Шаг 5: Окончательный ответ

Теперь возвращаемся к нашему полному интегралу: \[ \frac{\pi}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right). \] Таким образом, окончательный ответ: \[ \boxed{\frac{\pi}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}. \]