Вычислить комплексный интеграл где L — отрезок прямой от точки до точки

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Интегралы в комплексной плоскости

Задача требует вычислить комплексный интеграл \int_L \sin z \, dz, где L — отрезок прямой от точки z_1 = 0 до точки z_2 = i.

Решение:

1. Параметризация отрезка прямой
   Прямая соединяет точки z_1 = 0 и z_2 = i.
   Параметризуем эту прямую:
   z(t) = it, \; t \in [0, 1].

2. Дифференциал
   Дифференцируем z(t):
   dz = i \, dt.

3. Подстановка в интеграл
   Подставляем параметризацию в интеграл:
    \int_L \sin z \, dz = \int_0^1 \sin(z(t)) \cdot dz = \int_0^1 \sin(it) \cdot i \, dt. 

4. Вычисление синуса от мнимого аргумента
   Напомним, что для комплексного аргумента:
   \sin(it) = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}.
   Подставляем:
    \int_0^1 \sin(it) \cdot i \, dt = \int_0^1 \frac{e^{t} - e^{-t}}{2i} \cdot i \, dt. 

   Упрощаем:
    \int_0^1 \sin(it) \cdot i \, dt = \int_0^1 \frac{e^{t} - e^{-t}}{2} \, dt. 

5. Разделение интегралов
   Разделим на два интеграла:
    \int_0^1 \frac{e^{t} - e^{-t}}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_0^1 e^t \, dt - \frac{1}{2} \int_0^1 e^{-t} \, dt. 

6. Вычисление каждого интеграла

   • Первый интеграл:
      \int_0^1 e^t \, dt = \left[ e^t \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1. 
   • Второй интеграл:
      \int_0^1 e^{-t} \, dt = \left[ -e^{-t} \right]_0^1 = -e^{-1} + e^0 = 1 - \frac{1}{e}. 

7. Подстановка результатов
   Подставляем обратно:
    \int_L \sin z \, dz = \frac{1}{2} \left( (e - 1) - \left( 1 - \frac{1}{e} \right) \right). 

   Упрощаем:
    \int_L \sin z \, dz = \frac{1}{2} \left( e - 1 - 1 + \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{2} \left( e + \frac{1}{e} - 2 \right). 

Ответ:

\int_L \sin z \, dz = \frac{1}{2} \left( e + \frac{1}{e} - 2 \right).