Вычислить капитал фирмы в момент x=x1, если ее доход описывает функция f(x), а в начальный момент капитал равен F0

Это задание относится к области математики, а конкретно к экономическим приложениям анализа, в данном случае к вычислению капитализации фирмы на основе функции ее дохода.

В данном примере доход \(f(x)\) зависит от переменной \(x\), и его значение меняется в зависимости от интервалов \(x\). Ваша задача — вычислить капитал фирмы в момент \(x = x_1\), если начальный капитал \(F_0\) равен 0 и доход описывается функцией \(f(x)\). Функция дохода \(f(x)\) задана кусочно:

\[ f(x) = \begin{cases} \tan(x), & 0 < x < \frac{\pi}{4}, \ x_1 = \pi \\ 1, & \frac{\pi}{4} < x \end{cases} \]

Из условий задачи: начальный капитал равен \(F_0 = 0\). Капитал фирмы \(F(x)\) можно вычислить как интеграл от функции дохода:

\[ F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt \]

Нам нужно вычислить \(F(\pi)\). Разобьем этот интеграл на два интервала:

\[ F(\pi) = \int_{0}^{\pi} f(t) \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(t) \, dt + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} 1 \, dt \]

Рассчитаем каждый интеграл по отдельности:

1. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(t) \, dt\): Вспомним, что \(\int \tan(t) \, dt = -\ln|\cos(t)|\) и применим пределы интегрирования:

   \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(t) \, dt = \left[ -\ln|\cos(t)| \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \]]>

   \[ = -\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| + \ln|\cos(0)| \]]>

   \[ = -\ln\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \ln(1) \]]>

   \[ = -\left( \ln(\sqrt{2}) - \ln(2) \right) \]]>

   \[ = -\left( \frac{1}{2}\ln(2) \right) \]]>

   \[ = \frac{\ln(2)}{2} \]]>

2. \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} 1 \, dt\): Это простой интеграл от константы:

   \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} 1 \, dt = t \bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = \pi - \frac{\pi}{4} \]]>

   \[ = \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]]>

Теперь сложим оба результата:

\[ F(\pi) = \frac{\ln(2)}{2} + \frac{3\pi}{4} \]

Таким образом, капитал фирмы в момент \(x = \pi\) равен \(\frac{\ln(2)}{2} + \frac{3\pi}{4}\).